7. A, B ve C kümeleri için s(A) = 15, s(B) = 20, s(C) = 25, s(A ∩ B) = 8, s(A ∩ C) = 6, s(B ∩ C) = 10 ve s(A ∩ B ∩ C) = 3 olduğuna göre, sadece B kümesinde bulunan eleman sayısı kaçtır?
A) 5Bu soruda, üç kümenin eleman sayıları ve kesişim eleman sayıları verilmiş. Bizden sadece B kümesinde bulunan eleman sayısını bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken Venn şeması mantığını kullanmak ve adımları dikkatlice takip etmek çok önemlidir.
Bize şu bilgiler verilmiş:
$s(A) = 15$ (A kümesinin eleman sayısı)
$s(B) = 20$ (B kümesinin eleman sayısı)
$s(C) = 25$ (C kümesinin eleman sayısı)
$s(A \cap B) = 8$ (A ve B kümelerinin kesişimindeki eleman sayısı)
$s(A \cap C) = 6$ (A ve C kümelerinin kesişimindeki eleman sayısı)
$s(B \cap C) = 10$ (B ve C kümelerinin kesişimindeki eleman sayısı)
$s(A \cap B \cap C) = 3$ (A, B ve C kümelerinin üçünün de kesişimindeki eleman sayısı)
Bizden istenen ise sadece B kümesinde bulunan eleman sayısıdır. Yani B kümesinde olup A ve C kümelerinde olmayan elemanların sayısı.
Üç kümenin kesişiminde bulunan eleman sayısı zaten bize verilmiş: $s(A \cap B \cap C) = 3$. Bu, Venn şemasının tam ortasındaki bölgedir.
Şimdi, ikişerli kesişim bölgelerinin sadece o iki kümeye ait olan kısımlarını bulalım. Yani, üçüncü küme ile ortak olmayan kısımları çıkaralım.
A ve B'nin sadece kesişimi: $s(A \cap B \text{ sadece}) = s(A \cap B) - s(A \cap B \cap C)$
$s(A \cap B \text{ sadece}) = 8 - 3 = 5$. Bu, A ve B'nin kesişiminde olup C'de olmayan eleman sayısıdır.
A ve C'nin sadece kesişimi: $s(A \cap C \text{ sadece}) = s(A \cap C) - s(A \cap B \cap C)$
$s(A \cap C \text{ sadece}) = 6 - 3 = 3$. Bu, A ve C'nin kesişiminde olup B'de olmayan eleman sayısıdır.
B ve C'nin sadece kesişimi: $s(B \cap C \text{ sadece}) = s(B \cap C) - s(A \cap B \cap C)$
$s(B \cap C \text{ sadece}) = 10 - 3 = 7$. Bu, B ve C'nin kesişiminde olup A'da olmayan eleman sayısıdır.
Sadece B kümesinde bulunan eleman sayısını bulmak için, B kümesinin toplam eleman sayısından, B'nin diğer kümelerle olan tüm kesişimlerini çıkarmamız gerekir. Yani B'nin A ile kesişen kısmını, B'nin C ile kesişen kısmını ve üçünün kesişen kısmını B'den çıkaracağız. Ancak, bu kesişim bölgelerini ayrı ayrı hesapladığımız için, formülümüz şöyle olacaktır:
$s(\text{Sadece B}) = s(B) - [s(A \cap B \text{ sadece}) + s(B \cap C \text{ sadece}) + s(A \cap B \cap C)]$
Şimdi bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
$s(\text{Sadece B}) = 20 - [5 + 7 + 3]$
$s(\text{Sadece B}) = 20 - [15]$
$s(\text{Sadece B}) = 5$
Yani, sadece B kümesinde bulunan eleman sayısı $5$'tir.
Cevap A seçeneğidir.
