9. A, B ve C kümeleri için s(A ∪ B ∪ C) = 70'tir. s(A) = 30, s(B) = 40, s(C) = 35, s(A ∩ B) = 15, s(A ∩ C) = 10 ve s(B ∩ C) = 20 olduğuna göre, s(A ∩ B ∩ C) kaçtır?
A) 5
B) 8
C) 10
D) 12
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda üç kümenin birleşiminin eleman sayısını veren formülü kullanarak, kümelerin kesişiminin eleman sayısını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Kümeler İçin Birleşim Formülünü Hatırlayalım
- Üç kümenin (A, B, C) birleşiminin eleman sayısını bulmak için kullandığımız genel formül şöyledir:
- $s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A \cap B) - s(A \cap C) - s(B \cap C) + s(A \cap B \cap C)$
- Bu formül, kümelerin eleman sayılarını toplarken, ikişerli kesişimleri çıkararak ve üç kümenin birden kesişimini ekleyerek elemanların birden fazla sayılmasını engeller.
- Adım 2: Verilen Bilgileri Formülde Yerine Yazalım
- Soruda bize verilen değerleri formüldeki yerlerine yerleştirelim:
- $s(A \cup B \cup C) = 70$
- $s(A) = 30$
- $s(B) = 40$
- $s(C) = 35$
- $s(A \cap B) = 15$
- $s(A \cap C) = 10$
- $s(B \cap C) = 20$
- Aradığımız değer ise $s(A \cap B \cap C)$'dir.
- Formülü bu değerlerle tekrar yazalım:
- $70 = 30 + 40 + 35 - 15 - 10 - 20 + s(A \cap B \cap C)$
- Adım 3: Denklemi Çözerek $s(A \cap B \cap C)$ Değerini Bulalım
- Şimdi denklemin sağ tarafındaki bilinen sayıları toplayıp çıkaralım:
- Önce pozitif terimleri toplayalım: $30 + 40 + 35 = 105$
- Sonra negatif terimleri toplayalım: $15 + 10 + 20 = 45$
- Bu değerleri denklemde yerine yazalım:
- $70 = 105 - 45 + s(A \cap B \cap C)$
- Şimdi çıkarma işlemini yapalım: $105 - 45 = 60$
- Denklemimiz şu hale geldi:
- $70 = 60 + s(A \cap B \cap C)$
- Son olarak, $s(A \cap B \cap C)$'yi yalnız bırakmak için 60'ı eşitliğin diğer tarafına atalım (işareti değişerek):
- $s(A \cap B \cap C) = 70 - 60$
- $s(A \cap B \cap C) = 10$
Buna göre, A, B ve C kümelerinin kesişiminin eleman sayısı 10'dur.
Cevap C seçeneğidir.
