Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitini inceliyoruz. Limit kavramını hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
- Limitin Tanımı: Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x=a$ noktasında bir limite sahip olabilmesi için, fonksiyonun $x=a$ noktasına soldan yaklaşırken aldığı değer (sol limit) ile sağdan yaklaşırken aldığı değer (sağ limit) birbirine eşit olmalıdır. Yani, $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$ ise, bu ortak değer $\lim_{x \to a} f(x)$ olarak adlandırılır. Eğer sol limit ve sağ limit eşit değilse, o noktada limit yoktur.
- Verilen Sol Limit: Soruda bize $x=3$ noktasında fonksiyonun sol limiti $\lim_{x \to 3^-} f(x) = 2$ olarak verilmiştir. Bu, $x$ değerleri $3$'e soldan (yani $3$'ten küçük değerlerden) yaklaştığında $f(x)$ değerlerinin $2$'ye yaklaştığı anlamına gelir.
- Verilen Sağ Limit: Yine soruda $x=3$ noktasında fonksiyonun sağ limiti $\lim_{x \to 3^+} f(x) = 5$ olarak verilmiştir. Bu da, $x$ değerleri $3$'e sağdan (yani $3$'ten büyük değerlerden) yaklaştığında $f(x)$ değerlerinin $5$'e yaklaştığı anlamına gelir.
- Limitlerin Karşılaştırılması: Limit tanımına göre, bir noktada limitin var olması için sol limitin sağ limite eşit olması gerekir. Ancak bizim durumumuzda, sol limit $2$ iken, sağ limit $5$'tir. Yani, $2 \neq 5$.
- Sonuç: Sol limit ve sağ limit birbirine eşit olmadığı için, fonksiyonun $x=3$ noktasında bir limiti yoktur. Bu durumda, $\lim_{x \to 3} f(x)$ mevcut değildir.
Cevap D seçeneğidir.
