Bu soruda, benzer üçgenlerin alanları ve kenarları arasındaki ilişkiyi kullanarak büyük üçgenin kenar uzunluğunu bulacağız. Benzer üçgenler, şekilleri aynı ancak boyutları farklı olan üçgenlerdir. Bu tür üçgenlerde çok önemli bir kural vardır:
- Benzer Üçgenlerde Alan ve Kenar İlişkisi: İki benzer üçgenin alanları oranı, bu üçgenlerin karşılıklı kenarlarının oranının karesine eşittir.
- Matematiksel olarak ifade edersek, eğer iki benzer üçgenin alanları $A_1$ ve $A_2$, karşılıklı kenarları ise $k_1$ ve $k_2$ ise, bu durumda şu eşitlik geçerlidir:
$$ \frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{k_1}{k_2}\right)^2 $$
- Şimdi soruda verilen bilgileri bu formüle yerleştirelim. Bize alanlar oranı $9:16$ olarak verilmiş. Yani $\frac{A_1}{A_2} = \frac{9}{16}$'dır. Küçük üçgenin bir kenarı $12$ cm ($k_1 = 12$) olarak verilmiş. Büyük üçgenin karşılık gelen kenarını ($k_2$) bulmak istiyoruz.
- Formülümüzü kullanarak denklemi kuralım:
$$ \frac{9}{16} = \left(\frac{12}{k_2}\right)^2 $$
- Şimdi $k_2$'yi bulmak için denklemi çözmeliyiz. Öncelikle eşitliğin her iki tarafının karekökünü alalım. Bu, kenarlar oranını bulmamızı sağlayacaktır:
$$ \sqrt{\frac{9}{16}} = \sqrt{\left(\frac{12}{k_2}\right)^2} $$
$$ \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{12}{k_2} $$
$$ \frac{3}{4} = \frac{12}{k_2} $$
- Şimdi bu orantıyı çözerek $k_2$ değerini bulabiliriz. İçler dışlar çarpımı yapalım:
$$ 3 \times k_2 = 4 \times 12 $$
$$ 3k_2 = 48 $$
- Her iki tarafı $3$'e bölerek $k_2$'yi yalnız bırakalım:
$$ k_2 = \frac{48}{3} $$
$$ k_2 = 16 $$
- Buna göre, büyük üçgenin karşılık gelen kenarı $16$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
