Bu soruda, istatistiksel bir kavram olan standart sapmanın, bir veri setindeki tüm değerlere sabit bir sayı eklendiğinde nasıl etkilendiğini anlamamız gerekiyor. Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ne kadar yayıldığını, yani ne kadar farklılık gösterdiğini ölçen bir istatistiksel değerdir.
- Standart Sapma Nedir? Standart sapma, veri noktalarının ortalamadan ne kadar uzaklaştığının bir ölçüsüdür. Veriler ortalamaya ne kadar yakınsa, standart sapma o kadar küçük; veriler ortalamadan ne kadar uzaksa, standart sapma o kadar büyük olur. Yani, veri setinin yayılımını gösterir.
- Verilere Sabit Bir Sayı Eklemenin Etkisi: Bir veri setindeki her bir değere (bu durumda her öğrencinin puanına) sabit bir sayı (bu durumda 5 puan) eklediğimizde, tüm veri setini sayı doğrusu üzerinde belirli bir miktar sağa veya sola kaydırmış oluruz. Bu işlem, veri setinin şeklini veya yayılımını değiştirmez, sadece konumunu değiştirir.
- Ortalamanın Değişimi: Eğer her öğrencinin puanına 5 puan eklersek, sınıfın matematik puanı ortalaması da 5 puan artar. Örneğin, eski ortalama $\bar{x}$ ise, yeni ortalama $\bar{x} + 5$ olur.
- Sapmaların Değişimi: Standart sapma hesaplanırken, her bir veri noktasının ortalamadan farkına bakarız. Yani, $(x_i - \bar{x})$ değerlerini inceleriz. Eski durumda, bir öğrencinin puanı $x_i$ ise, ortalamadan sapması $(x_i - \bar{x})$ idi. Yeni durumda ise, öğrencinin puanı $x_i + 5$ ve yeni ortalama $\bar{x} + 5$ olduğundan, yeni sapma $(x_i + 5) - (\bar{x} + 5) = x_i + 5 - \bar{x} - 5 = x_i - \bar{x}$ olur. Gördüğünüz gibi, her bir veri noktasının ortalamadan sapması (farkı) değişmedi!
- Sonuç: Her bir veri noktasının ortalamadan sapması (farkı) değişmediği için, bu sapmaların karelerinin toplamı da değişmez. Standart sapma da bu sapmaların karelerinin toplamına dayandığı için, standart sapmanın değeri de değişmez. Bu durum, veri setine sabit bir değer eklemenin veya çıkarmanın standart sapmayı etkilemediğini gösterir. Standart sapma, verilerin birbirine göre konumunu değil, yayılımını ölçer.
Başlangıçtaki standart sapma $4,2$ olduğuna göre, her öğrencinin puanına 5 puan eklenmesi bu yayılımı değiştirmediği için yeni standart sapma da $4,2$ olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
