1. \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) \(\sqrt{3} - \sqrt{2}\)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iç içe köklü bir ifadeyi basitleştirmemiz isteniyor. $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ şeklindeki ifadeleri basitleştirmek için özel bir yöntem kullanırız. Haydi adım adım bu ifadeyi çözelim:
Verilen ifade $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ şeklindedir. Bu ifade, $\sqrt{a - 2\sqrt{b}}$ genel formuna uymaktadır. Bu tür ifadelerde, $a$ ve $b$ sayılarını kullanarak, çarpımları $b$'yi ve toplamları $a$'yı veren iki sayı bulmaya çalışırız.
İfademizde $a = 5$ ve $b = 6$'dır. Şimdi, çarpımları $6$ olan ve toplamları $5$ olan iki pozitif tam sayı bulmalıyız. Bu sayılar $x$ ve $y$ olsun:
Çarpımları $6$ olan sayı çiftlerini düşünelim: $(1, 6)$ ve $(2, 3)$.
Bu çiftlerin toplamlarına bakalım:
Demek ki aradığımız sayılar $3$ ve $2$'dir.
Genel kural şöyledir: Eğer $x > y$ olmak üzere $x \cdot y = b$ ve $x + y = a$ ise, o zaman $\sqrt{a - 2\sqrt{b}} = \sqrt{x} - \sqrt{y}$ olur. (Eğer ortadaki işaret artı olsaydı, $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ olurdu.)
Bizim bulduğumuz sayılar $x=3$ ve $y=2$'dir. $3 > 2$ koşulu da sağlanmaktadır. İfademizdeki işaret eksi olduğu için, formülü $\sqrt{x} - \sqrt{y}$ şeklinde uygulayacağız.
Bulduğumuz $x=3$ ve $y=2$ değerlerini formülde yerine koyalım:
$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
Elde ettiğimiz sonuç $\sqrt{3} - \sqrt{2}$'dir. Bu sonuç, seçeneklerden A) şıkkı ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
