Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir fonksiyonun türevini alıp ardından bu türevin integralini almamız isteniyor. Bu tür sorular, türev ve integralin birbirinin tersi işlemler olduğunu anlamamızı sağlar.
- Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulalım.
- Verilen fonksiyonumuz $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$.
- Türev alma kurallarını hatırlayalım:
- $x^n$'in türevi $n \cdot x^{n-1}$'dir.
- Sabit bir sayının türevi $0$'dır.
- Şimdi $f(x)$ fonksiyonunun türevini alalım, yani $f'(x)$'i bulalım:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)$
- $f'(x) = 3 \cdot (2x^{2-1}) - 2 \cdot (1x^{1-1}) + 0$
- $f'(x) = 6x - 2 \cdot x^0 + 0$
- $f'(x) = 6x - 2$
- Böylece fonksiyonun türevini $6x - 2$ olarak bulduk.
- Adım 2: Bulduğumuz Türevin İntegralini Alalım.
- Şimdi $f'(x) = 6x - 2$ ifadesinin integralini almamız gerekiyor: $\int (6x - 2) dx$.
- İntegral alma kurallarını hatırlayalım:
- $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n ≠ -1 için).
- $\int a dx = ax + C$ (burada $a$ bir sabittir).
- İfadeyi terim terim integre edelim:
- $\int (6x - 2) dx = \int 6x dx - \int 2 dx$
- $= 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 2x + C$
- $= 6 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C$
- $= 3x^2 - 2x + C$
- Buradaki $C$ bir integral sabitidir.
- Adım 3: Sonucu Değerlendirelim.
- Türevin integralini aldığımızda $3x^2 - 2x + C$ ifadesini elde ettik.
- Matematikte temel bir kural vardır: Bir fonksiyonun türevini alıp sonra bu türevin integralini aldığımızda, başlangıçtaki fonksiyona geri döneriz (sabit bir $C$ farkıyla). Yani, türev ve integral birbirinin tersi işlemlerdir.
- Bizim başlangıçtaki fonksiyonumuz $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ idi.
- Elde ettiğimiz sonuç $3x^2 - 2x + C$.
- Soruda hangi ifadenin elde edildiği sorulduğunda ve seçeneklerde orijinal fonksiyonun kendisi (sabit terimiyle birlikte) verildiğinde, bu $C$ sabitinin orijinal fonksiyondaki sabit terime eşit olduğu varsayılır. Bu durumda $C=1$ olur.
- Dolayısıyla, elde edilen ifade $3x^2 - 2x + 1$'dir.
Seçeneklere baktığımızda, $3x^2 - 2x + 1$ ifadesi A seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
