Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle kalkülüsün temel prensiplerinden birini içeren bir soruyu adım adım çözeceğiz. Soru, türev ve integral işlemlerinin birbirleriyle olan ilişkisini anlamamız için harika bir örnek.
- Adım 1: Soruyu Anlayalım
-
Bize verilen ifade $d/dx[\int(2x + 3)dx]$ şeklindedir. Bu ifadeyi dikkatlice incelediğimizde, iki ana matematiksel işlem olduğunu görüyoruz:
- Önce $\int(2x + 3)dx$ ile $2x + 3$ fonksiyonunun integrali alınıyor.
- Daha sonra, bu integralin sonucu $d/dx$ ile türevi alınıyor.
Yani, önce integral al, sonra türev al.
- Adım 2: Kalkülüsün Temel Teoremini Hatırlayalım
-
Kalkülüsün Temel Teoremi'nin önemli bir parçası bize şunu söyler: Türev alma ve integral alma işlemleri birbirinin tersidir. Tıpkı toplama ve çıkarmanın, çarpma ve bölmenin ters işlemler olması gibi.
Matematiksel olarak ifade edersek:
- Bir fonksiyonun integralini alıp sonra türevini alırsak, başlangıçtaki fonksiyona geri döneriz. Yani, $d/dx[\int f(x)dx] = f(x)$.
- Benzer şekilde, bir fonksiyonun türevini alıp sonra integralini alırsak da başlangıçtaki fonksiyona geri döneriz (bir sabit $C$ farkıyla). Yani, $\int [d/dx f(x)]dx = f(x) + C$.
Bizim sorumuzda ilk durumu kullanacağız.
- Adım 3: Teoremi Sorumuza Uygulayalım
-
Sorumuzda $f(x)$ fonksiyonu $2x + 3$'tür.
İşlem sırası önce integral almak, sonra türev almaktır: $d/dx[\int(2x + 3)dx]$.
Kalkülüsün Temel Teoremi'ne göre, bu iki işlem birbirini "nötrler" veya "iptal eder".
Bu durumda, integralini alıp sonra türevini aldığımız fonksiyon, yani $2x + 3$, sonucumuz olacaktır.
- Adım 4: Sonucu Belirleyelim
-
Yukarıdaki adımları takip ettiğimizde, $d/dx[\int(2x + 3)dx]$ işleminin sonucu doğrudan $2x + 3$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
