Türev ve integral ilişkisi (Ters işlemler) Test 1

∫(cosx)dx işleminin sonucunun türevi alındığında hangi ifade elde edilir?

A) cosx
B) sinx
C) -sinx
D) -cosx

Sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.

• Adım 1: Verilen integral işlemini yapın.

  Soru bizden öncelikle $\int(\cos x)dx$ işleminin sonucunu bulmamızı istiyor. Temel integral kurallarından bildiğimiz üzere, $\cos x$'in integrali $\sin x$'tir. İntegral sabiti $C$'yi de eklemeyi unutmayalım.

  Yani,

  $\int(\cos x)dx = \sin x + C$

  Bu ifade, türevi $\cos x$ olan tüm fonksiyonları temsil eder.

• Adım 2: Bulduğumuz sonucun türevini alın.

  Şimdi sorunun ikinci kısmına geçiyoruz: Bulduğumuz $\sin x + C$ ifadesinin türevini almalıyız. Bir fonksiyonun türevini alırken her terimin ayrı ayrı türevini alırız. $\sin x$'in türevi $\cos x$'tir ve sabit bir sayı olan $C$'nin türevi ise $0$'dır.

  O halde, $\sin x + C$ ifadesinin türevi şu şekilde bulunur:

  $\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \frac{d}{dx}(\sin x) + \frac{d}{dx}(C)$

  $\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x + 0$

  $\frac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x$

  Gördüğünüz gibi, bir fonksiyonun integralini alıp sonra türevini aldığımızda, integral sabiti $C$ ortadan kalkar ve başlangıçtaki fonksiyona geri döneriz. Bu, integral ve türevin birbirinin tersi işlemler olduğunu gösteren önemli bir özelliktir.

• Adım 3: Sonucu seçeneklerle karşılaştırın.

  Yaptığımız işlemler sonucunda elde ettiğimiz ifade $\cos x$'tir. Seçeneklere baktığımızda bu ifadenin A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.