Karmaşık sayılarda sanal (İmajiner) kısım (Im(z)) Test 1

İki karmaşık sayının toplamının sanal kısmı 5, farkının sanal kısmı -1'dir. Buna göre bu sayılardan birinin sanal kısmı kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Karmaşık sayılarla ilgili bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Soruda iki karmaşık sayının toplamı ve farkının sanal kısımları verilmiş. Bizden bu sayılardan birinin sanal kısmını bulmamız isteniyor.

• 1. Adım: Karmaşık Sayıları Tanımlayalım

  İki karmaşık sayımız $z_1$ ve $z_2$ olsun. Bu sayıları genel formda yazalım:

  $z_1 = a + bi$

  $z_2 = c + di$

  Burada $a, b, c, d$ birer gerçel sayıdır. $b$ sayısı $z_1$'in sanal kısmını (Im($z_1$)), $d$ sayısı ise $z_2$'nin sanal kısmını (Im($z_2$)) temsil eder.

• 2. Adım: Toplamın Sanal Kısmını İfade Edelim

  İki karmaşık sayının toplamını bulalım:

  $z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i$

  Soruda toplamın sanal kısmının 5 olduğu belirtilmiş. Bu durumda, sanal kısım olan $(b+d)$'yi 5'e eşitleyelim:

  $b+d = 5$ (Denklem 1)

• 3. Adım: Farkın Sanal Kısmını İfade Edelim

  Şimdi de iki karmaşık sayının farkını bulalım:

  $z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i$

  Soruda farkın sanal kısmının -1 olduğu belirtilmiş. Bu durumda, sanal kısım olan $(b-d)$'yi -1'e eşitleyelim:

  $b-d = -1$ (Denklem 2)

• 4. Adım: Denklem Sistemini Çözelim

  Elimizde iki bilinmeyenli ($b$ ve $d$) iki denklem var:

  $b+d = 5$

  $b-d = -1$

  Bu denklemleri alt alta toplayarak $d$ bilinmeyenini yok edebiliriz:

  $(b+d) + (b-d) = 5 + (-1)$

  $2b = 4$

  $b = 2$

  Şimdi bulduğumuz $b=2$ değerini Denklek 1'de yerine yazarak $d$ değerini bulalım:

  $2+d = 5$

  $d = 3$

• 5. Adım: Sonucu Yorumlayalım

  Bulduğumuz $b=2$ ve $d=3$ değerleri, karmaşık sayılarımızın sanal kısımlarıdır. Yani, $z_1$'in sanal kısmı 2, $z_2$'nin sanal kısmı ise 3'tür.

  Soru bizden "bu sayılardan birinin sanal kısmı kaçtır?" diye soruyor. Seçeneklere baktığımızda 2 değeri mevcuttur.

Cevap B seçeneğidir.