Karmaşık düzlemde $z = 4 + 3i$ noktasını temsil eden vektör, $w = 1 - i$ ile bölündüğünde elde edilen yeni vektörün uzunluğu kaç birimdir?
A) 5Bu soruda, karmaşık sayılarla bölme işlemi yaparak yeni bir vektör elde edecek ve bu vektörün uzunluğunu hesaplayacağız. Karmaşık sayılar, hem cebirsel hem de geometrik olarak düşünülebilen çok yönlü sayılardır. Bir karmaşık sayının uzunluğu (modülü), karmaşık düzlemde başlangıç noktasından o noktaya çizilen vektörün uzunluğunu temsil eder.
Soruda bize iki karmaşık sayı verilmiş:
İlk vektörü temsil eden karmaşık sayı: $z = 4 + 3i$
Bölen karmaşık sayı: $w = 1 - i$
Bizden, $z$ vektörünün $w$ ile bölünmesiyle elde edilen yeni vektörün uzunluğunu bulmamız isteniyor. Yani, $\frac{z}{w}$ işlemini yapıp, çıkan sonucun modülünü (uzunluğunu) hesaplayacağız.
Karmaşık sayılarda bölme işlemi yaparken, paydanın eşleniği ile hem payı hem de paydayı çarparız. Bu sayede payda reel bir sayıya dönüşür.
Payda $w = 1 - i$ olduğu için, eşleniği $\bar{w} = 1 + i$'dir.
Şimdi bölme işlemini yapalım:
$$ \frac{z}{w} = \frac{4 + 3i}{1 - i} $$Pay ve paydayı $1 + i$ ile çarpalım:
$$ \frac{4 + 3i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} $$Payı çarpalım:
$$ (4 + 3i)(1 + i) = 4 \times 1 + 4 \times i + 3i \times 1 + 3i \times i $$ $$ = 4 + 4i + 3i + 3i^2 $$Unutmayalım ki $i^2 = -1$. Bu değeri yerine koyarsak:
$$ = 4 + 7i + 3(-1) $$ $$ = 4 + 7i - 3 $$ $$ = 1 + 7i $$Şimdi paydayı çarpalım:
$$ (1 - i)(1 + i) $$Bu ifade, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ özdeşliğine benzer. Yani:
$$ = 1^2 - i^2 $$ $$ = 1 - (-1) $$ $$ = 1 + 1 $$ $$ = 2 $$Bölme işleminin sonucu olarak yeni karmaşık sayımız:
$$ \frac{1 + 7i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i $$Bu yeni karmaşık sayıya $z'$ diyelim: $z' = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$.
Bir karmaşık sayı $a + bi$ şeklinde ise, uzunluğu (modülü) $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ formülü ile bulunur.
Bizim yeni karmaşık sayımız $z' = \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i$ olduğuna göre, $a = \frac{1}{2}$ ve $b = \frac{7}{2}$'dir.
Uzunluğunu hesaplayalım:
$$ |z'| = \left| \frac{1}{2} + \frac{7}{2}i \right| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2} $$ $$ = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{49}{4}} $$ $$ = \sqrt{\frac{1 + 49}{4}} $$ $$ = \sqrt{\frac{50}{4}} $$Kök dışına çıkaralım:
$$ = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{4}} $$ $$ = \frac{\sqrt{25 \times 2}}{2} $$ $$ = \frac{5\sqrt{2}}{2} $$Seçeneklere baktığımızda, $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ ifadesi $\frac{5}{\sqrt{2}}$ olarak da yazılabilir. Çünkü $\frac{5\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$.
Bu durumda, elde edilen yeni vektörün uzunluğu $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ birimdir, bu da $\frac{5}{\sqrt{2}}$'ye eşittir.
Cevap B seçeneğidir.
