Bir karmaşık sayıyı $2 + 2i$ ile bölmek, sayıyı karmaşık düzlemde nasıl dönüştürür?
A) 45° saat yönünde döndürür ve uzunluğu yarıya indirir
B) 45° saat yönünün tersine döndürür ve uzunluğu yarıya indirir
C) 45° saat yönünde döndürür ve uzunluğu $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ katına getirir
D) 45° saat yönünün tersine döndürür ve uzunluğu $\frac{1}{2\sqrt{2}}$ katına getirir
Merhaba sevgili öğrenciler!
Karmaşık sayılar, sadece cebirsel işlemlerle değil, aynı zamanda karmaşık düzlemde geometrik dönüşümlerle de incelenebilir. Bir karmaşık sayıyı başka bir karmaşık sayıya bölmek, karmaşık düzlemde hem bir dönme hem de bir ölçekleme (uzunluk değişimi) anlamına gelir. Şimdi bu soruyu adım adım inceleyelim.
- Adım 1: Karmaşık Sayı Bölme İşleminin Geometrik Anlamını Hatırlayalım
İki karmaşık sayıyı, $z_1$ ve $z_2$'yi böldüğümüzde, sonuç $ rac{z_1}{z_2}$ olur. Bu işlemin karmaşık düzlemdeki etkisi şu şekildedir:
- Sonuç karmaşık sayının uzunluğu (modülü), $z_1$'in uzunluğunun $z_2$'nin uzunluğuna bölünmesiyle bulunur: $| rac{z_1}{z_2}| = rac{|z_1|}{|z_2|}$.
- Sonuç karmaşık sayının açısı (argümenti), $z_1$'in açısından $z_2$'nin açısının çıkarılmasıyla bulunur: $\arg( rac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$.
Yani, bölme işlemi, bölen sayının açısı kadar saat yönünde bir dönme ve bölen sayının uzunluğunun tersiyle bir ölçekleme (çarpma) anlamına gelir.
- Adım 2: Bölen Karmaşık Sayıyı Kutupsal (Polar) Forma Çevirelim
Bölen karmaşık sayımız $z_2 = 2 + 2i$. Bu sayının uzunluğunu (modülünü) ve açısını (argümentini) bulmamız gerekiyor.
- Uzunluk (Modül): Bir $a + bi$ şeklindeki karmaşık sayının uzunluğu $|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ formülüyle bulunur.
Buna göre, $|2 + 2i| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
- Açı (Argüment): Bir $a + bi$ şeklindeki karmaşık sayının açısı $\theta = \arctan( rac{b}{a})$ formülüyle bulunur (sayının hangi çeyrekte olduğuna dikkat ederek).
$2 + 2i$ sayısı birinci çeyrekte yer alır. Bu yüzden, $\theta = \arctan( rac{2}{2}) = \arctan(1) = 45^\circ$.
Yani, $2 + 2i$ karmaşık sayısının kutupsal formu $2\sqrt{2} (\cos 45^\circ + i \sin 45^\circ)$'dir.
- Adım 3: Dönüşümü Belirleyelim
Şimdi, herhangi bir $z$ karmaşık sayısını $2 + 2i$ ile böldüğümüzde ne olacağını inceleyelim:
- Uzunluktaki Değişim: Bölme işleminde uzunluklar bölünür. Yani, $z$'nin uzunluğu $|z|$ ise, yeni uzunluk $ rac{|z|}{|2 + 2i|} = rac{|z|}{2\sqrt{2}}$ olacaktır. Bu, orijinal uzunluğun $ rac{1}{2\sqrt{2}}$ katına indiği anlamına gelir.
- Açıdaki Değişim (Dönme): Bölme işleminde açılar çıkarılır. Yani, $z$'nin açısı $\arg(z)$ ise, yeni açı $\arg(z) - \arg(2 + 2i) = \arg(z) - 45^\circ$ olacaktır. Açının $45^\circ$ azalması, karmaşık sayının $45^\circ$ saat yönünde döndürüldüğü anlamına gelir.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirelim
Bulduğumuz sonuçlara göre:
- Sayı $45^\circ$ saat yönünde döndürülür.
- Sayı uzunluğu $ rac{1}{2\sqrt{2}}$ katına getirilir.
Bu özellikler C seçeneğinde tam olarak belirtilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
