Bir şehrin iki ana caddesinin denklemleri \( 5x - 2y + 8 = 0 \) ve \( 10x - 4y + 16 = 0 \) olarak veriliyor. Bu caddelerin birbirine göre durumu nedir?
A) ParaleldirMerhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, iki doğrunun birbirine göre durumunu inceleyeceğimiz bir problemle karşı karşıyayız. Caddeler aslında birer doğru denklemiyle temsil edilebilir. İki doğrunun birbirine göre üç temel durumu vardır: paralel olabilirler, kesişebilirler (özel bir durumu dik kesişmedir) veya çakışık olabilirler (yani aynı doğruyu temsil ederler).
Bu soruyu çözmek için, verilen doğru denklemlerini incelememiz ve aralarındaki ilişkiyi belirlememiz gerekiyor.
Bize iki ana caddenin denklemleri verilmiş:
Genel bir doğru denklemi $Ax + By + C = 0$ şeklindedir.
İki doğrunun birbirine göre durumunu anlamak için, katsayıları arasındaki oranları inceleyebiliriz. Doğrular $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ ve $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ şeklinde ise:
Şimdi denklemlerimizdeki katsayıları belirleyelim:
Gördüğümüz gibi, tüm oranlar birbirine eşittir: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{2}$.
Bu durum, yukarıda bahsettiğimiz kurala göre doğruların çakışık olduğunu gösterir. Yani, bu iki denklem aslında aynı caddeyi (aynı doğruyu) temsil etmektedir.
Doğruların durumunu anlamanın bir diğer yolu da eğimlerini ve $y$-kesen noktalarını karşılaştırmaktır. Bir doğrunun eğimi $Ax + By + C = 0$ denkleminde $m = -\frac{A}{B}$ formülüyle bulunabilir. $y$-kesen noktası ise $y = mx + b$ formundaki $b$ değeridir.
$2y = 5x + 8$
$y = \frac{5}{2}x + \frac{8}{2}$
$y = \frac{5}{2}x + 4$
Eğim $m_1 = \frac{5}{2}$ ve $y$-kesen $b_1 = 4$.
$4y = 10x + 16$
$y = \frac{10}{4}x + \frac{16}{4}$
$y = \frac{5}{2}x + 4$
Eğim $m_2 = \frac{5}{2}$ ve $y$-kesen $b_2 = 4$.
Her iki caddenin de eğimleri aynı ($m_1 = m_2 = \frac{5}{2}$) ve $y$-kesen noktaları aynı ($b_1 = b_2 = 4$) olduğu için, bu caddeler birbirine çakışıktır.
Her iki yöntem de aynı sonuca ulaştı. Bu caddeler aslında aynı güzergahı temsil etmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
