Diferansiyel kavramı nedir (dx) Test 1

6. f(x) = √x fonksiyonu veriliyor. x = 4'ten x = 4.1'e değişirken df diferansiyel değişimi yaklaşık olarak nedir?

A) 0.025
B) 0.05
C) 0.1
D) 0.2

Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki küçük bir değişimi için diferansiyel değişimi (yaklaşık değişimi) hesaplamamız isteniyor. Diferansiyel, bir fonksiyonun türevi yardımıyla fonksiyonun değerindeki küçük bir değişimi tahmin etmemizi sağlayan güçlü bir araçtır.

• 1. Fonksiyonun Türevini Bulma:

  Öncelikle, verilen $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun türevini bulmalıyız. Kök fonksiyonunu üslü ifade olarak yazarsak, $f(x) = x^{1/2}$ olur.

  Türev alma kuralını ($ (x^n)' = nx^{n-1} $) uygulayarak:

  $f'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

  Bu ifadeyi tekrar köklü olarak yazarsak:

  $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

• 2. Diferansiyel Değişim Formülünü Uygulama:

  Bir fonksiyonun diferansiyel değişimi $df$, $f'(x) \cdot dx$ formülü ile hesaplanır. Burada $dx$, $x$'deki küçük değişimi temsil eder.

  $df = f'(x) \cdot dx$

• 3. Verilen Değerleri Belirleme:

  Soruda başlangıç $x$ değeri $x = 4$ olarak verilmiştir. $x$'deki değişim ise $x = 4$'ten $x = 4.1$'e kadardır. Bu durumda $dx$ (veya $\Delta x$) değeri:

  $dx = 4.1 - 4 = 0.1$

• 4. Türevin Değerini Hesaplama:

  Şimdi $f'(x)$ ifadesinde $x=4$ değerini yerine koyarak türevin bu noktadaki değerini bulalım:

  $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$

• 5. Diferansiyel Değişimi Hesaplama:

  Son olarak, bulduğumuz $f'(4)$ ve $dx$ değerlerini diferansiyel formülünde yerine koyalım:

  $df = f'(4) \cdot dx = \frac{1}{4} \cdot 0.1$

  $df = 0.25 \cdot 0.1$

  $df = 0.025$

Bu durumda, $x = 4$'ten $x = 4.1$'e değişirken $f(x) = \sqrt{x}$ fonksiyonunun diferansiyel değişimi yaklaşık olarak $0.025$'tir.

Cevap A seçeneğidir.