Bu soruyu çözmek için öncelikle bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış halinden pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını nasıl bulacağımızı hatırlayalım.
- Adım 1: Sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini inceleyelim. Sayımız \( 2^2 \times 3^3 \times 5 \) şeklinde verilmiş. Bu, sayımızın 2, 3 ve 5 asal çarpanlarına sahip olduğunu ve bu çarpanların üslerinin sırasıyla 2, 3 ve 1 olduğunu gösterir.
- Adım 2: Pozitif tam sayı bölenlerinin toplamını bulma formülünü hatırlayalım. Eğer bir sayı \( p^a \times q^b \times r^c \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılmışsa, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı \( (1 + p + p^2 + ... + p^a) \times (1 + q + q^2 + ... + q^b) \times (1 + r + r^2 + ... + r^c) \) ile bulunur. Bu formül, her asal çarpanın 0'dan üssüne kadar olan tüm kuvvetlerinin toplamının çarpımını ifade eder.
- Adım 3: Formülü sayımıza uygulayalım. Bizim sayımız \( 2^2 \times 3^3 \times 5 \) olduğundan, pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı şu şekilde olacaktır: \( (1 + 2 + 2^2) \times (1 + 3 + 3^2 + 3^3) \times (1 + 5) \)
- Adım 4: Parantez içindeki toplamları hesaplayalım:
- \( (1 + 2 + 4) = 7 \)
- \( (1 + 3 + 9 + 27) = 40 \)
- \( (1 + 5) = 6 \)
- Adım 5: Bulduğumuz değerleri çarpalım: \( 7 \times 40 \times 6 = 1680 / 2 = 840 \)
Bu nedenle, sayının pozitif tam sayı bölenlerinin toplamı 840'tır.
Cevap B seçeneğidir.
