Aşağıda verilen sayılar kümeleri ve işlemlerle ilgili karşılaştırmalardan hangisi yanlıştır?
A) Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değilken, tam sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.
B) Tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıyken, rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir.
C) Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıyken, irrasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı değildir.
D) Gerçek sayılar kümesi, sıfırdan farklı sayılarla bölme işlemine göre kapalıyken, tam sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, farklı sayı kümelerinin belirli matematiksel işlemler altında "kapalılık" özelliklerini karşılaştırıyoruz. Bir kümenin bir işleme göre kapalı olması demek, o kümeden seçtiğimiz herhangi iki elemanı o işlemle birleştirdiğimizde, sonucun yine aynı kümenin bir elemanı olması demektir. Şimdi seçenekleri adım adım inceleyelim:
-
A) Doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değilken, tam sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır.
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ kümesidir. Çıkarma işlemi için bir örnek verelim: $3 - 5 = -2$. Gördüğümüz gibi, $-2$ bir doğal sayı değildir. Bu nedenle doğal sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalı değildir. Bu ifade doğrudur.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ kümesidir. Herhangi iki tam sayıyı çıkardığımızda sonuç yine bir tam sayı olacaktır. Örneğin, $5 - 3 = 2$, $3 - 5 = -2$, $-2 - 7 = -9$. Tüm sonuçlar tam sayıdır. Bu nedenle tam sayılar kümesi çıkarma işlemine göre kapalıdır. Bu ifade de doğrudur.
- Bu seçenekteki her iki ifade de doğru olduğu için, A seçeneği doğru bir karşılaştırmadır.
-
B) Tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıyken, rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Herhangi iki tam sayıyı topladığımızda sonuç yine bir tam sayı olacaktır. Örneğin, $3 + 5 = 8$, $-2 + (-7) = -9$. Tüm sonuçlar tam sayıdır. Bu nedenle tam sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır. Bu ifade doğrudur.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır ($a, b \in \mathbb{Z}$ ve $b \neq 0$). Herhangi iki rasyonel sayıyı topladığımızda sonuç yine bir rasyonel sayı olacaktır. Örneğin, $ rac{1}{2} + rac{1}{3} = rac{3}{6} + rac{2}{6} = rac{5}{6}$. $ rac{5}{6}$ bir rasyonel sayıdır. Genel olarak, $ rac{a}{b} + rac{c}{d} = rac{ad+bc}{bd}$ ifadesi de her zaman bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
- Seçenekteki "rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir" ifadesi yanlıştır. Bu nedenle B seçeneği yanlış bir karşılaştırmadır.
-
C) Rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıyken, irrasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı değildir.
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): Herhangi iki rasyonel sayıyı çarptığımızda sonuç yine bir rasyonel sayı olacaktır. Örneğin, $ rac{1}{2} \times rac{3}{4} = rac{3}{8}$. $ rac{3}{8}$ bir rasyonel sayıdır. Genel olarak, $ rac{a}{b} \times rac{c}{d} = rac{ac}{bd}$ ifadesi de her zaman bir rasyonel sayıdır. Bu nedenle rasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır. Bu ifade doğrudur.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılardır (örneğin $\sqrt{2}, \pi$). İki irrasyonel sayıyı çarptığımızda sonuç her zaman irrasyonel olmayabilir. Örneğin, $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$. $2$ bir rasyonel sayıdır, irrasyonel değildir. Bu nedenle irrasyonel sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalı değildir. Bu ifade de doğrudur.
- Bu seçenekteki her iki ifade de doğru olduğu için, C seçeneği doğru bir karşılaştırmadır.
-
D) Gerçek sayılar kümesi, sıfırdan farklı sayılarla bölme işlemine göre kapalıyken, tam sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir.
- Gerçek Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Sıfırdan farklı herhangi iki gerçek sayıyı birbirine böldüğümüzde sonuç yine bir gerçek sayı olacaktır. Örneğin, $ rac{\sqrt{3}}{2}$ veya $ rac{\pi}{5}$ birer gerçek sayıdır. Bu nedenle gerçek sayılar kümesi, sıfırdan farklı sayılarla bölme işlemine göre kapalıdır. Bu ifade doğrudur.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Herhangi iki tam sayıyı böldüğümüzde sonuç her zaman bir tam sayı olmayabilir. Örneğin, $3 \div 2 = rac{3}{2}$. $ rac{3}{2}$ bir tam sayı değildir. Bu nedenle tam sayılar kümesi bölme işlemine göre kapalı değildir. Bu ifade de doğrudur.
- Bu seçenekteki her iki ifade de doğru olduğu için, D seçeneği doğru bir karşılaştırmadır.
İncelemelerimiz sonucunda, B seçeneğindeki "rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalı değildir" ifadesinin yanlış olduğunu gördük. Rasyonel sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
