EBOB EKOK problemleri nasıl çözülür Test 1

3. Bir okulda matematik yarışmasına katılacak öğrenciler 6'şarlı, 8'erli ve 10'arlı gruplandırıldığında her seferinde 3 öğrenci açıkta kalıyor. Buna göre, bu okulda matematik yarışmasına katılan öğrenci sayısı en az kaçtır?

A) 123
B) 120
C) 117
D) 113

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problem, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek bir gruplama sorusu gibi görünse de aslında matematiğin önemli konularından biri olan "En Küçük Ortak Kat (EKOK)" kavramını anlamamızı sağlıyor. Hadi gelin, bu soruyu adım adım ve kolayca çözelim.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Matematiksel İfadeye Dönüştürelim

  Soruda bize verilen bilgi şu: Matematik yarışmasına katılacak öğrenciler 6'şarlı, 8'erli ve 10'arlı gruplandırıldığında her seferinde 3 öğrenci açıkta kalıyor. Bu ne anlama geliyor?

  • Bu, öğrenci sayısının 6'ya bölündüğünde kalanın 3 olduğu anlamına gelir.
  • Aynı şekilde, öğrenci sayısının 8'e bölündüğünde kalanın 3 olduğu anlamına gelir.
  • Ve yine, öğrenci sayısının 10'a bölündüğünde kalanın 3 olduğu anlamına gelir.

  Yani, eğer öğrenci sayısından 3 çıkarırsak, elde ettiğimiz yeni sayı hem 6'ya, hem 8'e, hem de 10'a tam bölünebilen bir sayı olacaktır. Bizden bu öğrenci sayısının en az kaç olduğu isteniyor. Bu da bizi "En Küçük Ortak Kat" kavramına götürür.

• Adım 2: 6, 8 ve 10 Sayılarının En Küçük Ortak Katını (EKOK) Bulalım

  Öğrenci sayısından 3 eksik olan sayı, 6, 8 ve 10'un ortak katı olmalı. En az öğrenci sayısını bulmak için bu sayıların en küçük ortak katını (EKOK) bulmalıyız. EKOK'u bulmak için asal çarpanlara ayırma yöntemini kullanalım:

  • 6 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $6 = 2 \times 3$
  • 8 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3$
  • 10 sayısını asal çarpanlarına ayıralım: $10 = 2 \times 5$

  Şimdi, bu asal çarpanlardan en büyük üslü olanları alarak çarpalım:

  • 2'nin en büyük üssü $2^3$ (yani 8)
  • 3'ün en büyük üssü $3^1$ (yani 3)
  • 5'in en büyük üssü $5^1$ (yani 5)

  EKOK(6, 8, 10) = $2^3 \times 3 \times 5 = 8 \times 3 \times 5 = 24 \times 5 = 120$.

  Bu 120 sayısı, hem 6'ya, hem 8'e, hem de 10'a tam bölünebilen en küçük sayıdır.

• Adım 3: Kalan Öğrencileri Ekleyerek Toplam Sayıyı Bulalım

  Bizim öğrenci sayımız, 6, 8 ve 10'a tam bölünen bir sayıdan 3 fazlaydı. En küçük tam bölünen sayı 120 olduğuna göre, öğrenci sayısı en az:

  • Öğrenci Sayısı = EKOK(6, 8, 10) + Kalan Öğrenci Sayısı
  • Öğrenci Sayısı = $120 + 3$
  • Öğrenci Sayısı = $123$
• Adım 4: Cevabımızı Kontrol Edelim

  Bulduğumuz 123 sayısını sorudaki koşullara göre kontrol edelim:

  • 123 öğrenciyi 6'şarlı gruplarsak: $123 \div 6 = 20$ grup ve 3 öğrenci artar. (Doğru, çünkü $20 \times 6 = 120$, $123 - 120 = 3$)
  • 123 öğrenciyi 8'erli gruplarsak: $123 \div 8 = 15$ grup ve 3 öğrenci artar. (Doğru, çünkü $15 \times 8 = 120$, $123 - 120 = 3$)
  • 123 öğrenciyi 10'arlı gruplarsak: $123 \div 10 = 12$ grup ve 3 öğrenci artar. (Doğru, çünkü $12 \times 10 = 120$, $123 - 120 = 3$)

  Tüm koşullar sağlandı ve bu sayı, en küçük ortak katı kullandığımız için en az öğrenci sayısıdır.

Cevap A seçeneğidir.