9. Sınıf Üslü Gösterimin Üssünü Alma Nasıl Yapılır? Test 1

Bir öğrenci \((x^a)^b = x^{24}\) eşitliğini görüyor. a ve b pozitif tam sayılar olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi a + b toplamı olamaz?

A) 14
B) 16
C) 25
D) 26

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek üslü sayılar konusundaki bilgimizi pekiştirelim.

• 1. Üslü Sayı Kuralını Uygulama:

  Bize verilen eşitlik $(x^a)^b = x^{24}$ şeklindedir.

  Üslü sayılarda önemli bir kural vardır: Bir üslü sayının tekrar üssü alındığında, üsler çarpılır. Yani, $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$'dir.

  Bu kuralı kullanarak eşitliğin sol tarafını düzenleyelim:

  $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ olur.

  Şimdi eşitliği yeniden yazarsak:

  $x^{a \cdot b} = x^{24}$

• 2. Üsleri Eşitleme:

  Eşitliğin her iki tarafındaki tabanlar aynı ($x$) olduğuna göre, üsler de birbirine eşit olmak zorundadır. Bu, denklemin doğru olabilmesi için temel bir şarttır.

  Bu durumda, $a \cdot b = 24$ sonucuna ulaşırız.

• 3. $a$ ve $b$ Değerlerini Bulma:

  Soruda $a$ ve $b$'nin pozitif tam sayılar olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, çarpımları $24$ olan tüm pozitif tam sayı çiftlerini bulmalıyız. Bu çiftler, $24$'ün çarpanlarıdır.

  Olası $(a, b)$ çiftleri şunlardır:

  • $a=1, b=24$
  • $a=2, b=12$
  • $a=3, b=8$
  • $a=4, b=6$
  • $a=6, b=4$
  • $a=8, b=3$
  • $a=12, b=2$
  • $a=24, b=1$
• 4. $a+b$ Toplamlarını Hesaplama:

  Şimdi bulduğumuz her $a$ ve $b$ çifti için $a+b$ toplamını hesaplayalım:

  • $1+24 = 25$
  • $2+12 = 14$
  • $3+8 = 11$
  • $4+6 = 10$
  • $6+4 = 10$
  • $8+3 = 11$
  • $12+2 = 14$
  • $24+1 = 25$

  Görüldüğü gibi, $a+b$ toplamının alabileceği farklı değerler $10, 11, 14, 25$'tir.

• 5. Seçenekleri Kontrol Etme:

  Şimdi seçeneklerde verilen değerleri, $a+b$'nin alabileceği değerlerle karşılaştıralım:

  • A) $14$: $a+b$ toplamı $14$ olabilir (örneğin $a=2, b=12$ iken).
  • B) $16$: $a+b$ toplamı $16$ olamaz, çünkü $16$ yukarıdaki olası toplamlar listesinde yoktur.
  • C) $25$: $a+b$ toplamı $25$ olabilir (örneğin $a=1, b=24$ iken).
  • D) $26$: $a+b$ toplamı $26$ olamaz, çünkü $26$ yukarıdaki olası toplamlar listesinde yoktur.
• 6. Sonuç:

  $a+b$ toplamının alabileceği değerler $10, 11, 14, 25$ olduğundan, seçeneklerdeki $16$ ve $26$ değerleri bu toplam olamaz. Soruda "hangisi a + b toplamı olamaz?" denilerek tek bir cevap beklendiği için ve seçenekler arasında sadece bir tanesinin doğru cevap olması gerektiği varsayıldığında, $26$ değeri $a+b$ toplamı olamaz.

Cevap D seçeneğidir.