Bir fonksiyonun limitinin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerektiğini öğrenen bir öğrenci, aşağıdaki fonksiyonları incelemektedir:
f(x) = { x² + 1, x < 2
{ 3x - 1, x ≥ 2
Bu fonksiyonun x = 2 noktasındaki limiti nedir?
A) 3
B) 5
C) Limit yoktur
D) 2
Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinin var olabilmesi için, o noktaya soldan yaklaşırken ve sağdan yaklaşırken fonksiyonun değerlerinin aynı sayıya yaklaşması gerektiğini biliyoruz. Yani, soldan limit ve sağdan limit birbirine eşit olmalıdır.
Şimdi verilen fonksiyonu ve $x=2$ noktasındaki limitini adım adım inceleyelim:
- Fonksiyonumuzu hatırlayalım:
$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 2 \\ 3x - 1, & x \geq 2 \end{cases}$
- Adım 1: Soldan limiti hesaplayalım.
$x$ değeri $2$'ye soldan yaklaşırken ($x < 2$), fonksiyonumuzun kuralı $f(x) = x^2 + 1$ şeklindedir. Bu durumda, soldan limit şöyle hesaplanır:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1)$
$x$ yerine $2$ koyarak bu limiti bulabiliriz:
$(2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$
Demek ki, soldan limitimiz $5$'tir.
- Adım 2: Sağdan limiti hesaplayalım.
$x$ değeri $2$'ye sağdan yaklaşırken ($x \geq 2$), fonksiyonumuzun kuralı $f(x) = 3x - 1$ şeklindedir. Bu durumda, sağdan limit şöyle hesaplanır:
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 1)$
$x$ yerine $2$ koyarak bu limiti bulabiliriz:
$3(2) - 1 = 6 - 1 = 5$
Demek ki, sağdan limitimiz de $5$'tir.
- Adım 3: Soldan ve sağdan limitleri karşılaştıralım.
Soldan limitimiz $5$ bulduk.
Sağdan limitimiz de $5$ bulduk.
Gördüğümüz gibi, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 5$ ve $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$.
Soldan ve sağdan limitler birbirine eşit olduğu için, fonksiyonun $x=2$ noktasındaki limiti vardır ve bu limit $5$'e eşittir.
Cevap B seçeneğidir.
