Soru:
Aşağıdaki parçalı fonksiyonun \(x = 2\) noktasındaki limitini bulunuz.
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1, & x < 2 \\
5, & x = 2 \\
3x - 1, & x > 2
\end{cases}
\]
Çözüm:
💡 Bir noktada limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir.
- ➡️ Soldan Limit: \(x\), 2'ye soldan yaklaşırken (\(x \to 2^-\) fonksiyon \(f(x) = x^2 + 1\) kuralını kullanır. \(\lim_{x \to 2^-} (x^2 + 1) = (2)^2 + 1 = 5\)
- ➡️ Sağdan Limit: \(x\), 2'ye sağdan yaklaşırken (\(x \to 2^+\)) fonksiyon \(f(x) = 3x - 1\) kuralını kullanır. \(\lim_{x \to 2^+} (3x - 1) = 3(2) - 1 = 5\)
- ➡️ Karşılaştırma: Sağdan ve soldan limitler eşittir (\(\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = 5\)).
✅ Sonuç: \(\lim_{x \to 2} f(x) = 5\)
