Soru:
Aşağıdaki trigonometrik limiti hesaplayınız: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{3x}\)
Çözüm:
💡 Bu limit, temel limit \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1\) özelliği kullanılarak çözülür.
- ➡️ İlk adım, ifadeyi temel limit formuna uygun hale getirmektir. Paydaki \(5x\)'i, paydadaki \(x\) ile aynı yapmaya çalışırız.
- ➡️ İkinci adım, pay ve paydayı 5 ile çarpıp bölmektir: \(\frac{\sin(5x)}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x}\)
- ➡️ Üçüncü adım, \(\theta = 5x\) değişken değişikliğini yapmaktır. \(x \to 0\) iken \(\theta \to 0\) olur.
- ➡️ Son adım, temel limit kuralını uygulamaktır: \(\lim_{x \to 0} \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin(5x)}{5x} = \frac{5}{3} \cdot \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = \frac{5}{3} \cdot 1\)
✅ Sonuç: \(\frac{5}{3}\)
