Limit nedir Test 1

Bir bakteri kültüründeki bakteri sayısının zamanla değişimi N(t) = 1000/(1 + 9e^(-0.1t)) fonksiyonu ile modellenmektedir.
Bu modele göre, t → ∞ iken bakteri sayısı neye yaklaşır?

A) 0
B) 500
C) 1000
D) ∞

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir bakteri kültüründeki bakteri sayısının zamanla değişimini gösteren bir fonksiyon verilmiş ve zaman sonsuza giderken bakteri sayısının neye yaklaşacağını bulmamız isteniyor. Bu tür sorular, bir sistemin uzun vadedeki davranışını anlamak için limit kavramını kullanmamızı gerektirir. Haydi adım adım bu soruyu çözelim!

• 1. Fonksiyonu Anlayalım:

  Bakteri sayısını veren fonksiyonumuz $N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0.1t}}$ şeklindedir. Burada $N(t)$ belirli bir $t$ anındaki bakteri sayısını, $t$ ise zamanı temsil eder. Bizden istenen, zaman $t$ sonsuza giderken ($t \rightarrow \infty$) bakteri sayısının yani $N(t)$'nin hangi değere yaklaşacağını bulmaktır. Bu, matematiksel olarak $\lim_{t \to \infty} N(t)$ değerini hesaplamak anlamına gelir.

• 2. Limit Alınacak İfadeyi Belirleyelim:

  Fonksiyonumuz bir kesirli ifadedir. $t$ sonsuza giderken bu ifadenin değerini bulmak için, $t$ içeren terimlerin limitlerini ayrı ayrı incelememiz gerekir. Fonksiyondaki $t$ değişkeni sadece $e^{-0.1t}$ teriminde bulunmaktadır. Bu terimin limitini bulmak, sorunun çözümündeki anahtar adımdır.

• 3. Üstel Terimin Limitini Hesaplayalım:

  Şimdi $t \rightarrow \infty$ iken $e^{-0.1t}$ teriminin limitini bulalım:

  • $e^{-0.1t}$ ifadesini $\frac{1}{e^{0.1t}}$ olarak yazabiliriz. Bu şekilde, negatif üssü pozitif hale getirerek daha rahat işlem yapabiliriz.
  • $t \rightarrow \infty$ iken, $0.1t$ ifadesi de sonsuza gider ($0.1 \times \infty = \infty$).
  • Dolayısıyla, $e^{0.1t}$ ifadesi de sonsuza gider ($e^{\infty} = \infty$).
  • Bu durumda, $\frac{1}{e^{0.1t}}$ ifadesi $\frac{1}{\infty}$ şeklini alır. Bir sayıyı sonsuz büyüklükteki bir sayıya böldüğümüzde sonuç 0'a yaklaşır.
  • Yani, $\lim_{t \to \infty} e^{-0.1t} = 0$ olur.
• 4. Ana Fonksiyonda Yerine Koyalım:

  Bulduğumuz bu limiti, $N(t)$ fonksiyonundaki yerine koyarak genel limit değerini hesaplayalım:

  • $\lim_{t \to \infty} N(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{1000}{1 + 9e^{-0.1t}}$
  • Limit özelliklerini kullanarak, $e^{-0.1t}$ teriminin limitini yerine yazabiliriz:
  • $= \frac{1000}{1 + 9 \times (\lim_{t \to \infty} e^{-0.1t})}$
  • $= \frac{1000}{1 + 9 \times 0}$
  • $= \frac{1000}{1 + 0}$
  • $= \frac{1000}{1}$
  • $= 1000$
• 5. Sonucu Yorumlayalım:

  Hesaplamalarımıza göre, zaman sonsuza giderken bakteri sayısı 1000'e yaklaşmaktadır. Bu, bakteri kültürünün uzun vadede ulaşabileceği maksimum bakteri sayısının (taşıma kapasitesinin) 1000 olduğunu gösterir. Fonksiyonun yapısı gereği, başlangıçta bakteri sayısı artacak, ancak belirli bir noktadan sonra artış hızı yavaşlayacak ve sonunda 1000'e çok yakın bir değere sabitlenecektir.

Cevap C seçeneğidir.