Limit nedir Test 1

lim_x→1 (x³ - 1)/(x - 1) limitinin değeri kaçtır?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3

Sevgili öğrenciler, bu limit sorusunu adım adım, dikkatlice inceleyelim. Limit problemlerinde ilk yapmamız gereken genellikle $x$ değerini doğrudan yerine koymaktır. Eğer tanımsız bir ifade (örneğin $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$) elde edersek, o zaman ifadeyi sadeleştirmek için cebirsel yöntemlere başvururuz.

• Adım 1: Doğrudan Yerine Koyma Denemesi

Öncelikle, $x=1$ değerini doğrudan fonksiyonda yerine koymayı deneyelim:

$\frac{x^3 - 1}{x - 1} = \frac{1^3 - 1}{1 - 1} = \frac{1 - 1}{1 - 1} = \frac{0}{0}$

Gördüğümüz gibi, $\frac{0}{0}$ belirsizliğini elde ettik. Bu durum, ifadenin sadeleştirilmesi gerektiğini gösterir. Unutmayın, belirsizlik demek "cevap yok" demek değil, "daha fazla çalışmamız gerekiyor" demektir!

• Adım 2: Payı Çarpanlarına Ayırma

Pay kısmındaki ifade $x^3 - 1$ bir küpler farkı özdeşliğidir. Küpler farkı formülü $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ şeklindedir.

Burada $a = x$ ve $b = 1$ olarak düşünebiliriz. O halde, $x^3 - 1^3$ ifadesini çarpanlarına ayıralım:

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x \cdot 1 + 1^2)$

$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

Bu çarpanlara ayırma işlemi, belirsizliği ortadan kaldırmanın anahtarıdır.

• Adım 3: İfadeyi Sadeleştirme

Şimdi çarpanlarına ayırdığımız ifadeyi limitin içine geri yazalım:

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{x - 1}$

$x$ değeri $1$'e yaklaşıyor, ancak tam olarak $1$ değil. Bu yüzden $x - 1 \neq 0$'dır. Bu durumda, pay ve paydadaki $(x - 1)$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

$\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1)$

İşte bu sadeleştirme, belirsizliği ortadan kaldırdı!

• Adım 4: Sadeleşmiş İfadeyi Değerlendirme

Artık sadeleşmiş ifademiz $\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1)$ şeklindedir. Bu noktada, $x=1$ değerini doğrudan yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz, çünkü artık bir belirsizlik durumu yoktur:

$1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$

Böylece limitin değerini $3$ olarak bulmuş olduk.

Cevap D seçeneğidir.