Gerçek hayat problemlerinde limit kavramı sıklıkla kullanılır. Örneğin, bir aracın anlık hızı, konum fonksiyonunun zaman değişimine göre limiti ile bulunur.
s(t) = t² + 2t fonksiyonu ile verilen konum için, t = 3 anındaki anlık hız nedir?
Sevgili öğrenciler, bu problemde bir aracın konum fonksiyonu verilmiş ve belirli bir andaki anlık hızını bulmamız isteniyor. Anlık hız, limit kavramının gerçek hayattaki en güzel uygulamalarından biridir.
Bir cismin anlık hızı, konum fonksiyonunun zamana göre türevi ile bulunur. Türev, aslında bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranını gösteren bir limittir. Yani, $v(t) = s'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t+h) - s(t)}{h}$ formülüyle ifade edilir. Bu formül, çok küçük bir zaman aralığındaki (h) konum değişiminin (s(t+h) - s(t)) bu zaman aralığına oranının limitini alarak anlık hızı verir.
Soruda bize verilen konum fonksiyonu $s(t) = t^2 + 2t$ şeklindedir. Burada $s(t)$ aracın $t$ anındaki konumunu ifade eder.
Anlık hızı bulmak için $s(t)$ fonksiyonunun zamana ($t$) göre türevini almalıyız. Türev alma kurallarını hatırlayalım:
Genel olarak, $t^n$ şeklindeki bir terimin türevi $n \cdot t^{n-1}$'dir. Sabit bir sayının bir değişkenle çarpımının türevi ise, sabit sayı ile değişkenin türevinin çarpımıdır.
Bu kuralları $s(t) = t^2 + 2t$ fonksiyonuna uygulayalım:
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 + 2t)$
$v(t) = \frac{d}{dt}(t^2) + \frac{d}{dt}(2t)$
$v(t) = (2 \cdot t^{2-1}) + (2 \cdot 1 \cdot t^{1-1})$
$v(t) = 2t + 2 \cdot t^0$
$v(t) = 2t + 2 \cdot 1$
$v(t) = 2t + 2$
Böylece, aracın herhangi bir $t$ anındaki anlık hızını veren $v(t) = 2t + 2$ hız fonksiyonunu bulmuş olduk.
Şimdi, $t=3$ anındaki anlık hızı bulmak için bulduğumuz hız fonksiyonu $v(t) = 2t + 2$ içinde $t$ yerine $3$ yazalım:
$v(3) = 2(3) + 2$
$v(3) = 6 + 2$
$v(3) = 8$
Buna göre, $t=3$ anındaki anlık hız $8$ birim/zaman birimidir (örneğin, $8$ metre/saniye).
Cevap C seçeneğidir.
