Limit nedir Test 1

lim_x→0 (1 - cos(2x))/x² limitinin değeri nedir?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 4

Limit sorularını çözerken ilk yapmamız gereken, $x$ değerini fonksiyonda yerine koyarak belirsizlik olup olmadığını kontrol etmektir. Eğer belirsizlik varsa, uygun yöntemleri (özdeşlikler, L'Hôpital Kuralı, eşlenik çarpımı vb.) kullanırız.

• Adım 1: Belirsizlik Kontrolü

  Verilen limit ifadesinde $x \to 0$ için pay ve paydayı ayrı ayrı inceleyelim:

  Pay: $1 - \cos(2x)$ ifadesinde $x=0$ yazarsak, $1 - \cos(2 \cdot 0) = 1 - \cos(0) = 1 - 1 = 0$.

  Payda: $x^2$ ifadesinde $x=0$ yazarsak, $0^2 = 0$.

  Gördüğümüz gibi, limitimiz $\frac{0}{0}$ belirsizliğine sahiptir. Bu durumda, limiti hesaplamak için farklı yöntemler kullanabiliriz.

• Adım 2: Trigonometrik Özdeşlik Kullanımı

  Bu tür limitlerde sıklıkla kullanılan bir trigonometrik özdeşlik vardır: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$. Bu özdeşliği pay kısmında yerine koyarak ifadeyi basitleştirebiliriz.

  Pay kısmını düzenleyelim: $1 - \cos(2x) = 1 - (1 - 2\sin^2(x)) = 1 - 1 + 2\sin^2(x) = 2\sin^2(x)$.

  Şimdi limit ifadesini yeniden yazalım:

  $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(x)}{x^2}$

• Adım 3: Temel Limit Kuralının Uygulanması

  Bu ifadeyi, bildiğimiz temel limit kurallarından birine benzetebiliriz. Hatırlayalım ki $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ eşitliği vardır.

  İfademizi şu şekilde düzenleyebiliriz:

  $\lim_{x \to 0} 2 \cdot \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^2$

  Limit özelliklerini kullanarak, limiti içeri dağıtabiliriz:

  $2 \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \right)^2$

  Şimdi temel limit kuralını uygulayalım:

  $2 \cdot (1)^2 = 2 \cdot 1 = 2$

• Adım 4: Sonuç

  Yapılan işlemler sonucunda limitin değeri $2$ olarak bulunmuştur.

Alternatif Yöntem: L'Hôpital Kuralı

Eğer trigonometrik özdeşlik aklınıza gelmezse veya farklı bir yöntem denemek isterseniz, L'Hôpital Kuralı'nı da kullanabilirsiniz. Bu kural, $\frac{0}{0}$ veya $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliklerinde pay ve paydanın türevlerini alarak limiti hesaplamamızı sağlar.

• 1. Uygulama:

  Payın türevi: $\frac{d}{dx}(1 - \cos(2x)) = -(-\sin(2x) \cdot 2) = 2\sin(2x)$

  Paydanın türevi: $\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

  Yeni limit: $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin(2x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$

  Bu ifade hala $\frac{0}{0}$ belirsizliğidir.

• 2. Uygulama:

  Payın türevi: $\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

  Paydanın türevi: $\frac{d}{dx}(x) = 1$

  Yeni limit: $\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{1}$

  Şimdi $x=0$ yerine koyalım: $2\cos(2 \cdot 0) = 2\cos(0) = 2 \cdot 1 = 2$.

Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.

Cevap C seçeneğidir.