9. Sınıf Köklü Gösterimlerle Toplama, Çıkarma, Çarpma, Bölme ve Kökün Kökünü Alma İşlemleri Nasıl Yapılır? Test 1

1. \( \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} \) işleminin sonucu kaçtır?

A) \( 4\sqrt{3} \)
B) \( 5\sqrt{3} \)
C) \( 6\sqrt{3} \)
D) \( 7\sqrt{3} \)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, köklü ifadelerle toplama ve çıkarma işlemi yapacağız. Bu tür işlemlerde temel kural, kök içindeki sayıları sadeleştirerek aynı kök içine sahip terimler elde etmektir. Hadi adım adım çözelim:

• Öncelikle, işlemimizdeki her bir köklü ifadeyi en sade haline getirmemiz gerekiyor. Yani, kök içindeki sayıları bir tam kare ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışacağız. Amacımız, kök içindeki sayıları mümkün olduğunca küçültmek ve aynı kök içini elde etmektir.

• İlk ifademiz $ \sqrt{12} $.

  • $12$ sayısını bir tam kare ve başka bir sayının çarpımı olarak düşünelim. $12 = 4 \times 3$. Burada $4$ bir tam karedir ($2^2$).
  • Bu durumda, $ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz.
  • Kök dışına çıkarma kuralına göre, $ \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} $.
  • $ \sqrt{4} $ değeri $2$'dir. O halde, $ \sqrt{12} = 2\sqrt{3} $ olur.

• İkinci ifademiz $ \sqrt{27} $.

  • $27$ sayısını bir tam kare ve başka bir sayının çarpımı olarak düşünelim. $27 = 9 \times 3$. Burada $9$ bir tam karedir ($3^2$).
  • Bu durumda, $ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} $ şeklinde yazabiliriz.
  • Kök dışına çıkarma kuralına göre, $ \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} $.
  • $ \sqrt{9} $ değeri $3$'tür. O halde, $ \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $ olur.

• Üçüncü ifademiz $ \sqrt{3} $.

  • $3$ sayısı bir tam kare içermediği için bu ifade zaten en sade halindedir. Yani, $ \sqrt{3} $ olarak kalır.

• Şimdi, sadeleştirdiğimiz bu ifadeleri orijinal işlemdeki yerlerine yazalım:

  • $ \sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3} $ işlemi,
  • $ 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} $ haline gelir.

• Gördüğümüz gibi, tüm terimlerin kök içi aynı ($ \sqrt{3} $). Bu durumda, köklü ifadeleri toplama ve çıkarma işlemi yapabiliriz. Tıpkı $2x + 3x - x$ işlemini yapar gibi, kök dışındaki katsayıları toplar ve çıkarırız:

  • $ (2 + 3 - 1)\sqrt{3} $
  • Önce parantez içindeki toplama ve çıkarmayı yapalım: $2 + 3 = 5$. Sonra $5 - 1 = 4$.
  • Sonuç olarak, $ 4\sqrt{3} $ elde ederiz.

Bu adımları takip ettiğimizde, işlemin sonucunun $ 4\sqrt{3} $ olduğunu buluruz.

Cevap A seçeneğidir.