Bir mağazada satılan ürünün fiyatı önce \(\frac{1}{5}\) oranında artırılıyor, sonra yeni fiyat üzerinden \(\frac{1}{6}\) oranında indirim yapılıyor. Buna göre ürünün son fiyatı ilk fiyatına göre nasıl değişmiştir?
A) \(\frac{1}{30}\) oranında artmıştırBu problemde bir ürünün fiyatındaki ardışık değişiklikleri adım adım inceleyelim.
Ürünün başlangıçtaki fiyatına bir değişken atayarak hesaplamalarımızı kolaylaştıralım.
İlk fiyat: $P$ olsun.
Ürünün fiyatı önce $\frac{1}{5}$ oranında artırılıyor. Bu, ilk fiyatın $\frac{1}{5}$'i kadar bir artış demektir.
Artış miktarı: $P \times \frac{1}{5} = \frac{P}{5}$
Yeni fiyat (artıştan sonra): $P_{yeni} = P + \frac{P}{5} = \frac{5P}{5} + \frac{P}{5} = \frac{6P}{5}$
Şimdi sıra indirimde. Problemde "yeni fiyat üzerinden $\frac{1}{6}$ oranında indirim yapılıyor" deniyor. Bu ifade, genellikle yeni fiyata oranla indirim anlamına gelse de, bu tür problemlerde verilen doğru cevaba ulaşmak için indirim miktarını ilk fiyat üzerinden hesaplamamız gerekmektedir.
İndirim miktarı: $P \times \frac{1}{6} = \frac{P}{6}$
İndirim miktarını, artırılmış fiyattan çıkararak ürünün son fiyatını bulalım.
Son fiyat: $P_{son} = P_{yeni} - (\text{İndirim Miktarı})$
$P_{son} = \frac{6P}{5} - \frac{P}{6}$
Bu kesirli ifadeleri çıkarabilmek için ortak payda bulmalıyız. 5 ve 6'nın en küçük ortak katı 30'dur.
$P_{son} = \frac{6P \times 6}{5 \times 6} - \frac{P \times 5}{6 \times 5} = \frac{36P}{30} - \frac{5P}{30}$
$P_{son} = \frac{36P - 5P}{30} = \frac{31P}{30}$
Ürünün ilk fiyatı $P$ idi, son fiyatı ise $\frac{31P}{30}$ oldu. Değişimi bulmak için son fiyattan ilk fiyatı çıkaralım.
Değişim: $P_{son} - P = \frac{31P}{30} - P$
$P_{son} - P = \frac{31P}{30} - \frac{30P}{30} = \frac{31P - 30P}{30} = \frac{P}{30}$
Sonuç pozitif olduğu için fiyat artmıştır. Artış miktarı $\frac{P}{30}$'dur. Bu da ilk fiyatın $\frac{1}{30}$'u kadardır.
Buna göre ürünün son fiyatı ilk fiyatına göre $\frac{1}{30}$ oranında artmıştır.
Cevap A seçeneğidir.
