Parabolün en küçük veya en büyük değeri (k) Test 1

f(x) = 3x² - 12x + m parabolünün minimum değeri 2 olduğuna göre, m kaçtır?

A) 10
B) 12
C) 14
D) 16

Sevgili öğrenciler, bu soruda bir parabolün minimum değeri verilmiş ve bizden parabolün denklemindeki bilinmeyen bir katsayıyı bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları kolayca çözebiliriz.

• 1. Parabolün Yönünü Belirleyelim:

  Verilen parabol denklemi $f(x) = 3x^2 - 12x + m$ şeklindedir. Bir parabolün $ax^2 + bx + c$ genel denkleminde, $x^2$'nin katsayısı olan $a$ değeri parabolün yönünü belirler. Eğer $a > 0$ ise parabol yukarı doğru açılır ve bir minimum noktası vardır. Eğer $a < 0$ ise parabol aşağı doğru açılır ve bir maksimum noktası vardır.

  Bizim parabolümüzde $a = 3$ ve $3 > 0$ olduğu için parabol yukarı doğru açılır ve bir minimum değere sahiptir. Bu bilgi, soruda verilen "minimum değer" ifadesiyle uyumludur.

• 2. Parabolün Tepe Noktasının x-Koordinatını Bulalım:

  Bir parabolün minimum veya maksimum değeri, tepe noktasında gerçekleşir. Tepe noktasının x-koordinatı (genellikle $r$ ile gösterilir) $r = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur.

  Denklemimiz $f(x) = 3x^2 - 12x + m$ olduğundan, $a = 3$ ve $b = -12$ değerlerini formülde yerine koyalım:

  $r = -\frac{(-12)}{2 \cdot 3}$

  $r = -\frac{-12}{6}$

  $r = \frac{12}{6}$

  $r = 2$

  Yani, parabolün minimum değeri $x = 2$ noktasında gerçekleşir.

• 3. Minimum Değeri Fonksiyonda Yerine Koyarak Bulalım:

  Parabolün minimum değeri, tepe noktasının y-koordinatıdır (genellikle $k$ ile gösterilir). Bunu bulmak için tepe noktasının x-koordinatını ($r=2$) parabol denkleminde yerine koyarız: $f(r) = k$.

  $f(2) = 3(2)^2 - 12(2) + m$

  $f(2) = 3(4) - 24 + m$

  $f(2) = 12 - 24 + m$

  $f(2) = -12 + m$

  Bu ifade, parabolün minimum değerini $m$ cinsinden vermektedir.

• 4. Minimum Değeri Verilen Değerle Eşitleyelim ve m'yi Bulalım:

  Soruda bize parabolün minimum değerinin $2$ olduğu verilmiştir. Biz de az önce minimum değeri $-12 + m$ olarak bulduk. Şimdi bu iki ifadeyi birbirine eşitleyerek $m$ değerini bulabiliriz:

  $-12 + m = 2$

  $m = 2 + 12$

  $m = 14$

  Böylece $m$ değerini $14$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.