Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülü Test 1

6. Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin karşılıklı iki kenarı 2x - y + 3 = 0 ve 2x - y - 7 = 0 denklemleriyle verilmiştir. Bu bahçenin kısa kenar uzunluğu kaç metredir?

A) 2√5
B) 4√5
C) 2
D) 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin karşılıklı iki kenarının denklemleri verilmiş ve bizden bahçenin kısa kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Haydi bu problemi adım adım çözelim:

• 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:

  Bize verilen denklemler $2x - y + 3 = 0$ ve $2x - y - 7 = 0$. Bu denklemler, dikdörtgenin karşılıklı iki kenarını temsil ediyor. Dikdörtgenin karşılıklı kenarları birbirine paraleldir. Denklemlere baktığımızda ($Ax + By + C = 0$ formunda), her iki denklemin de $x$ ve $y$ katsayıları aynıdır ($A=2$, $B=-1$). Bu durum, doğruların birbirine paralel olduğunu gösterir. Paralel doğrular arasındaki uzaklık, dikdörtgenin bir kenar uzunluğunu verecektir.

• 2. Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık Formülünü Hatırlayalım:

  Genel olarak, $Ax + By + C_1 = 0$ ve $Ax + By + C_2 = 0$ şeklindeki paralel iki doğru arasındaki uzaklık $d$ şu formülle bulunur:

  $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

• 3. Denklemlerimizdeki Katsayıları Belirleyelim:
  • Birinci denklem: $2x - y + 3 = 0 \Rightarrow A=2, B=-1, C_1=3$
  • İkinci denklem: $2x - y - 7 = 0 \Rightarrow A=2, B=-1, C_2=-7$
• 4. Uzaklık Formülünü Uygulayalım:

  Şimdi belirlediğimiz katsayıları formülde yerine yazalım:

  $d = \frac{|3 - (-7)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$

• 5. Hesaplamayı Yapalım:

  Pay kısmını hesaplayalım:

  $|3 - (-7)| = |3 + 7| = |10| = 10$

  Payda kısmını hesaplayalım:

  $\sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

  Şimdi bu değerleri $d$ formülünde yerine koyalım:

  $d = \frac{10}{\sqrt{5}}$

• 6. Paydayı Rasyonel Hale Getirelim:

  Matematikte genellikle paydada köklü ifade bırakmayız. Bu yüzden ifadeyi $\sqrt{5}$ ile genişleterek paydayı rasyonel hale getirelim:

  $d = \frac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$

  $d = \frac{10\sqrt{5}}{5}$

  Sadeleştirme yapalım:

  $d = 2\sqrt{5}$

• 7. Sonucu Yorumlayalım:

  Bulduğumuz $2\sqrt{5}$ değeri, dikdörtgenin karşılıklı iki kenarı arasındaki uzaklıktır. Bu uzaklık, dikdörtgenin bir kenar uzunluğunu temsil eder. Soru bize "kısa kenar uzunluğu"nu sorduğuna göre, bu değer bahçenin kısa kenar uzunluğudur.

Cevap A seçeneğidir.