Kısmi integrasyon yöntemi nedir Test 1

∫eˣ·sin(x)dx integralini çözmek için kısmi integrasyon uygulandığında, integral tekrar karşımıza çıkar ve denklem çözülerek sonuca ulaşılır. İlk adımda u = eˣ, dv = sin(x)dx seçilirse, elde edilecek ifade nedir?

A) -eˣ·cos(x) + ∫eˣ·cos(x)dx
B) eˣ·cos(x) - ∫eˣ·cos(x)dx
C) -eˣ·cos(x) - ∫eˣ·cos(x)dx
D) eˣ·cos(x) + ∫eˣ·cos(x)dx

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, kısmi integrasyon yöntemini kullanarak bir integralin ilk adımını nasıl çözeceğimizi adım adım inceleyeceğiz. Kısmi integrasyon, iki fonksiyonun çarpımının integralini almak için kullanılan güçlü bir tekniktir.

Kısmi integrasyon formülü şöyledir: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

Şimdi sorumuzdaki integrale ve verilen ilk adıma odaklanalım:

• İntegralimiz: $\int e^x \sin(x) dx$
• Verilen ilk adımda seçilenler: $u = e^x$ ve $dv = \sin(x) dx$

Bu seçimleri kullanarak formülümüzdeki diğer terimleri bulmamız gerekiyor:

• 1. $u$'dan $du$'yu bulalım:
• $u = e^x$ ise, $u$'nun türevi $du$'yu verir.
• $du = \frac{d}{dx}(e^x) dx = e^x dx$.

• 2. $dv$'den $v$'yi bulalım:
• $dv = \sin(x) dx$ ise, $dv$'nin integrali $v$'yi verir.
• $v = \int \sin(x) dx$.
• $\sin(x)$'in integrali $-\cos(x)$'tir. Bu yüzden, $v = -\cos(x)$. (Burada integral sabiti $C$'yi eklememize gerek yok, çünkü formülde birbirini götürecektir.)

Şimdi bulduğumuz $u$, $v$, $du$ ve $dv$ değerlerini kısmi integrasyon formülüne yerleştirelim:

• $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
• $\int e^x \sin(x) dx = (e^x)(-\cos(x)) - \int (-\cos(x))(e^x dx)$

Bu ifadeyi biraz daha düzenleyelim:

• $\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) - \int -e^x \cos(x) dx$
• İkinci terimdeki iki eksi işareti birbirini artıya çevirir:
• $\int e^x \sin(x) dx = -e^x \cos(x) + \int e^x \cos(x) dx$

Bu ifade, soruda bizden istenen ilk adımın sonucudur.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz bu ifadenin A seçeneği ile aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.