\( f(x) = \int_0^x (t^2 - 2t) \, dt \) fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisi kaçtır?
A) 0Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir integral şeklinde tanımlanmış fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
1. Adım: Fonksiyonun Türevini Bulma
Bir fonksiyonun yerel minimum veya maksimum noktalarını bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini alıp sıfıra eşitlememiz gerekir. Verilen fonksiyon $f(x) = \int_0^x (t^2 - 2t) \, dt$ şeklindedir. Kalkülüsün Temel Teoremi'ne göre, eğer $F(x) = \int_a^x g(t) \, dt$ ise, $F'(x) = g(x)$ olur. Bu durumda, $f(x)$ fonksiyonunun türevi olan $f'(x)$ aşağıdaki gibi bulunur:
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_0^x (t^2 - 2t) \, dt \right) = x^2 - 2x$
2. Adım: Kritik Noktaları Bulma
Yerel ekstremum noktaları (minimum veya maksimum) için $f'(x) = 0$ denklemini çözmeliyiz. Bu noktalara kritik noktalar denir.
$x^2 - 2x = 0$
Ortak çarpan olan $x$'i parantez dışına alalım:
$x(x - 2) = 0$
Bu denklemin çözümleri $x = 0$ veya $x - 2 = 0 \implies x = 2$ olur. Yani kritik noktalarımız $x=0$ ve $x=2$'dir.
3. Adım: Yerel Minimum Noktasını Belirleme (İkinci Türev Testi)
Hangi kritik noktanın yerel minimum olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanabiliriz. Bunun için önce $f''(x)$'i bulalım:
$f''(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 2x) = 2x - 2$
Şimdi kritik noktaları $f''(x)$'e yerleştirelim:
$x = 0$ için:
$f''(0) = 2(0) - 2 = -2$
İkinci türev negatif ($f''(0) < 0$) olduğu için $x=0$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
$x = 2$ için:
$f''(2) = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2$
İkinci türev pozitif ($f''(2) > 0$) olduğu için $x=2$ noktasında bir yerel minimum vardır.
4. Adım: Sonucu Belirleme
Yaptığımız analizlere göre, fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisi $x=2$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
