"İki tek sayının toplamı çifttir" önermesinin cebirsel ispatında, iki tek sayı $2a+1$ ve $2b+1$ olarak ifade edilir. Toplamları $(2a+1)+(2b+1) = 2a+2b+2$ olur. Bu ifade neden çift sayıdır?
A) Tüm terimler tek sayıdır
B) $2(a+b+1)$ formunda yazılabilir
C) a ve b'nin değerine bağlıdır
D) Sonuç asal sayıdır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki tek sayının toplamının neden her zaman çift bir sayı olduğunu cebirsel olarak ispatlıyoruz. Bize verilen ifade $2a+1$ ve $2b+1$ şeklindeki iki tek sayının toplamının $2a+2b+2$ olduğu ve bu ifadenin neden çift sayı olduğu soruluyor. Haydi adım adım inceleyelim:
-
1. Çift Sayının Tanımı: Bir sayının çift sayı olması demek, o sayının $2$ ile tam bölünebilmesi veya $2$ çarpı bir tam sayı ($2k$) şeklinde yazılabilmesi demektir. Burada $k$ herhangi bir tam sayıdır.
-
2. Verilen İfadeyi İnceleyelim: İki tek sayının toplamı bize $2a+2b+2$ olarak verilmiştir. Burada $a$ ve $b$ birer tam sayıdır, çünkü tek sayıların tanımında bu böyledir.
-
3. Ortak Çarpanı Bulma: $2a+2b+2$ ifadesindeki her terime dikkat ederseniz, hepsinde ortak bir çarpan olduğunu görürsünüz. Bu ortak çarpan $2$'dir.
-
4. İfadeyi Yeniden Yazma (Çarpanlara Ayırma): Ortak çarpan olan $2$'yi parantez dışına alarak ifadeyi yeniden yazabiliriz:
$$(2a+2b+2) = 2(a+b+1)$$
-
5. Çift Sayı Tanımıyla Karşılaştırma: Şimdi bu yeni ifadeyi çift sayının tanımıyla karşılaştıralım. Çift sayı tanımına göre, bir sayı $2k$ şeklinde yazılabiliyorsa çifttir. Bizim ifademiz $2(a+b+1)$ şeklindedir.
-
6. $k$ Değerini Belirleme: Burada $k$ yerine $(a+b+1)$ gelmiştir. $a$ ve $b$ birer tam sayı olduğu için, bunların toplamı olan $a+b$ de bir tam sayıdır. Bir tam sayıya $1$ eklediğimizde $(a+b+1)$ de yine bir tam sayı olacaktır.
-
7. Sonuç: Dolayısıyla, $2a+2b+2$ ifadesi $2 \times (\text{bir tam sayı})$ şeklinde yazılabildiği için, çift sayının tanımına uyar ve her zaman çift bir sayıdır.
-
8. Seçenekleri Değerlendirme:
- A) "Tüm terimler tek sayıdır" - Yanlış. $2a$, $2b$ ve $2$ terimlerinin hepsi çift sayıdır.
- B) "$2(a+b+1)$ formunda yazılabilir" - Doğru. Yukarıdaki adımlarda gösterdiğimiz gibi, ifade bu şekilde çarpanlara ayrılabilir ve bu da onun çift olduğunu gösterir.
- C) "a ve b'nin değerine bağlıdır" - Yanlış. $a$ ve $b$ hangi tam sayılar olursa olsun, bu ifade her zaman çift olacaktır.
- D) "Sonuç asal sayıdır" - Yanlış. Bir sayı çift olduğu için asal sayı olmak zorunda değildir. Örneğin, $2a+2b+2$ ifadesi $6$ veya $10$ gibi asal olmayan çift sayılar da olabilir. Sadece $2$ asal bir çift sayıdır, ancak bu ifadenin her zaman $2$ olacağı anlamına gelmez.
Cevap B seçeneğidir.
