Soru:
Aşağıdaki önermeyi hem cebirsel olarak ispatlayın hem de algoritmik yaklaşım ile doğrulayın.
Önerme: Herhangi bir \( n \) pozitif tam sayısı için, \( 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 \) eşitliği doğrudur.
Çözüm:
💡 Bu önerme, ilk \( n \) tek sayının toplamının \( n^2 \)'ye eşit olduğunu söyler. İki yöntemle doğrulayalım.
- ➡️ Cebirsel İspat (Tümevarım):
- 1. Baz Adım (n=1): \( 2*1-1 = 1 \) ve \( 1^2 = 1 \). Eşitlik sağlanır.
- 2. İndüksiyon Adımı: Eşitliğin \( n=k \) için doğru olduğunu varsayalım: \( 1+3+...+(2k-1) = k^2 \).
- 3. \( n=k+1 \) için toplam: \( [1+3+...+(2k-1)] + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1) = k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2 \).
- ➡️ Algoritmik Doğrulama (n=5 için):
- 1. Toplamı 0, n=5 olarak başlat.
- 2. 1'den 5'e kadar her i için: Toplama \( (2*i - 1) \) ekle.
- 3. Toplam = 1+3+5+7+9 = 25.
- 4. \( n^2 = 5^2 = 25 \). Sonuçlar eşleşir.
✅ Önerme hem cebirsel olarak ispatlandı hem de algoritmik olarak doğrulandı.
