Soru:
Aşağıdaki önermeyi hem cebirsel olarak ispatlayın hem de algoritmik bir yaklaşımla doğrulayın: "Bir tam sayının karesi ile kendisinin toplamı her zaman çift sayıdır." Yani, \( n^2 + n \) ifadesinin çift olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
💡 Bu ifadeyi çarpanlarına ayırarak kolayca ispatlayabiliriz.
- ➡️ Cebirsel İspat: \( n^2 + n \) ifadesini düzenleyelim: \( n^2 + n = n(n + 1) \). Görüldüğü gibi bu, bir önceki örnekte ispatladığımız ardışık iki tam sayının çarpımıdır. Ardışık iki tam sayının çarpımının her zaman çift olduğunu ispatladığımıza göre, \( n^2 + n \) ifadesi de her zaman çift sayıdır.
- ➡️ Alternatif bir cebirsel ispat: \( n \) tek ya da çift olabilir.
- Eğer \( n \) çift ise, \( n^2 \) de çifttir, iki çift sayının toplamı \( n^2 + n \) çifttir.
- Eğer \( n \) tek ise, \( n^2 \) de tektir, iki tek sayının toplamı \( n^2 + n \) çifttir. (Tek + Tek = Çift)
- ➡️ Algoritmik Doğrulama Mantığı: Algoritma, belirli bir aralıktaki (örneğin 1'den 1000'e kadar) tüm \( n \) tam sayıları için \( n^2 + n \) değerini hesaplar ve sonucun çift olup olmadığını kontrol eder. Tüm \( n \) değerleri için sonuç "Çift" ise önerme doğrulanır.
- ➡️ Örnek bir kontrol: \( n = 4 \) için \( 4^2 + 4 = 16 + 4 = 20 \) (çift). \( n = 7 \) için \( 7^2 + 7 = 49 + 7 = 56 \) (çift). \( n = 0 \) için \( 0^2 + 0 = 0 \) (çift).
✅ Sonuç: Hem cebirsel ispatlar hem de algoritmik kontrol, \( n^2 + n \) ifadesinin her zaman çift bir sayı olduğunu göstermektedir.
