Soru:
Aşağıdaki önermeyi hem cebirsel olarak ispatlayın hem de algoritmik yaklaşım ile doğrulayın.
Önerme: Her \( n \) pozitif tam sayısı için \( n^3 - n \) ifadesi 6 ile tam bölünür.
Çözüm:
💡 Bu önermeyi çarpanlara ayırarak ispatlayabilir ve bir döngü ile test edebiliriz.
- ➡️ Cebirsel İspat (Çarpanlara Ayırma):
- 1. İfadeyi çarpanlarına ayıralım: \( n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) \).
- 2. Bu, üç ardışık tam sayının çarpımıdır: \( (n-1), n, (n+1) \).
- 3. Ardışık üç tam sayıdan en az biri 2'ye, en az biri 3'e tam bölünür.
- 4. Dolayısıyla çarpımları her zaman 6'ya (2*3) tam bölünür.
- ➡️ Algoritmik Doğrulama (n=1'den 10'a kadar):
- 1. n=1 için: \( 1^3 - 1 = 0 \). 0, 6'ya tam bölünür.
- 2. n=2 için: \( 8 - 2 = 6 \). 6/6=1.
- 3. n=3 için: \( 27 - 3 = 24 \). 24/6=4.
- 4. ... n=10 için: \( 1000 - 10 = 990 \). 990/6=165. Tümü doğrular.
✅ Önerme, genel bir cebirsel ispata sahiptir ve algoritmik olarak da doğrulanmıştır.
