Soru:
Aşağıdaki önermeyi hem cebirsel olarak ispatlayın hem de algoritmik bir yaklaşımla doğrulayın: "Ardışık iki tam sayının çarpımı her zaman çift sayıdır." Önermeyi, ardışık sayıları \( n \) ve \( n+1 \) olarak alarak ispatlayınız.
Çözüm:
💡 Ardışık sayılardan birinin mutlaka çift olması gerektiği gerçeğinden yola çıkacağız.
- ➡️ Cebirsel İspat: \( n \) bir tam sayı olsun. \( n \) ve \( n+1 \) ardışık iki tam sayıdır. Bu iki sayıdan biri mutlaka çifttir. Çünkü ardışık sayılar sırayla tek ve çift olur. Bir çift sayı ile herhangi bir tam sayının çarpımı çift olduğundan, \( n(n+1) \) çarpımı da her zaman çift sayıdır. Daha formel ispat: \( n \) çift ise, \( n = 2k \) yazılır, dolayısıyla \( n(n+1) = 2k(n+1) \) çifttir. \( n \) tek ise, \( n = 2k+1 \) olur, dolayısıyla \( n+1 = 2k+2 = 2(k+1) \) çifttir ve \( n(n+1) = (2k+1)*2(k+1) \) çifttir.
- ➡️ Algoritmik Doğrulama Mantığı: Algoritma, belirli bir aralıktaki (örneğin -100'den 100'e kadar) tüm \( n \) tam sayıları için \( n * (n+1) \) çarpımını hesaplar ve sonucun çift olup olmadığını kontrol eder. Tüm \( n \) değerleri için sonuç "Çift" ise önerme doğrulanmış olur.
- ➡️ Örnek bir kontrol: \( n = 5 \) için \( 5 * 6 = 30 \) (çift). \( n = 10 \) için \( 10 * 11 = 110 \) (çift). \( n = -3 \) için \( -3 * -2 = 6 \) (çift).
✅ Sonuç: Hem cebirsel ispat hem de algoritmik kontrol, ardışık iki tam sayının çarpımının her zaman çift olduğunu göstermektedir.
