Soru:
Aşağıdaki önermeyi hem cebirsel olarak ispatlayın hem de algoritmik yaklaşım ile doğrulayın.
Önerme: İki tek sayının çarpımı her zaman bir tek sayıdır.
- İki tek sayıyı \( 2a+1 \) ve \( 2b+1 \) formunda temsil edebiliriz (a ve b tam sayı).
Çözüm:
💡 Bu önermenin doğruluğu cebirsel olarak gösterilebilir ve rastgele tek sayı çiftleri ile test edilebilir.
- ➡️ Cebirsel İspat (Genel Form):
- 1. İki tek sayıyı temsil edelim: \( m = 2a+1 \), \( n = 2b+1 \).
- 2. Çarpımlarını hesaplayalım: \( m*n = (2a+1)(2b+1) \).
- 3. Parantezleri açalım: \( 4ab + 2a + 2b + 1 \).
- 4. İlk üç terimi 2 parantezine alalım: \( 2(2ab + a + b) + 1 \).
- 5. Bu ifade \( 2k + 1 \) formundadır (k=\( 2ab+a+b \)), yani bir tek sayıdır.
- ➡️ Algoritmik Doğrulama (Rastgele Örneklerle):
- 1. (3, 5) -> 3*5=15. 15 tek mi? Evet.
- 2. (7, 11) -> 7*11=77. 77 tek mi? Evet.
- 3. (13, 9) -> 13*9=117. 117 tek mi? Evet.
- 4. Algoritma, bu kurala uymayan bir çift bulana kadar rastgele tek sayı çiftleri seçip çarpımın tekliğini kontrol eder. Hiçbir istisna bulamaz.
✅ Önerme, genel cebirsel ispatı ve algoritmik testleri ile doğrulanmıştır.
