Soru:
“Ardışık iki tam sayının kareleri toplamından bir çıkarıldığında sonuç, bu iki sayının çarpımının iki katına eşit olur.” Önermesini cebirsel olarak ispatlayınız. Bu önermenin doğruluğunu, belirli bir aralıktaki tüm ardışık sayı çiftleri için test eden bir algoritmanın pseudo kodunu yazınız.
Çözüm:
💡 Cebirsel İspat:
- ➡️ Ardışık iki tam sayıyı \( n \) ve \( n+1 \) olarak alalım.
- ➡️ Kareleri toplamı: \( n^2 + (n+1)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1 \).
- ➡️ Bu toplamdan 1 çıkaralım: \( (2n^2 + 2n + 1) - 1 = 2n^2 + 2n \).
- ➡️ Sayıların çarpımının iki katı: \( 2 * [n * (n+1)] = 2(n^2 + n) = 2n^2 + 2n \).
- ➡️ Görüldüğü gibi her iki ifade de \( 2n^2 + 2n \) değerine eşittir. İspat tamamlandı.
💡 Algoritmik Yaklaşım (Pseudo Kod):
- 1. BASLA
- 2. `alt_sinir` ve `ust_sinir` değerlerini tanımla (Örn: 1 ve 100).
- 3. `n` için `alt_sinir`'den `ust_sinir - 1`'e kadar bir döngü başlat.
- 4. `SolTaraf = (n^2 + (n+1)^2) - 1` işlemini yap.
- 5. `SagTaraf = 2 * n * (n+1)` işlemini yap.
- 6. Eğer `SolTaraf == SagTaraf` ise, bir sonraki adıma geç. Değilse, "HATA: Önerme n değeri için yanlış!" yazdır ve döngüyü durdur.
- 7. Döngü sonu.
- 8. Eğer döngü hatasız tamamlandıysa, "Tebrikler! Önerme belirtilen aralıkta doğrulandı." yazdır.
- 9. BITIR
✅ Sonuç: Önerme cebirsel olarak kanıtlandı ve algoritmik olarak sonlu bir küme üzerinde test edilmesi için bir yöntem sunuldu.
