Soru:
“Bir tam sayı ve onun 2 fazlasının kareleri farkı, bu iki sayının toplamına eşittir.” önermesini ispatlayınız. Daha sonra, bu önermenin doğruluğunu 1'den 1000'e kadar olan tüm tam sayılar için kontrol eden ve kaç adet sayının bu kurala uyduğunu sayan bir algoritma tasarlayınız.
Çözüm:
💡 Cebirsel İspat:
- ➡️ Sayımıza \( x \) diyelim. Diğer sayı \( x + 2 \) olur.
- ➡️ Kareleri farkı: \( (x+2)^2 - x^2 \).
- ➡️ İki kare farkı özdeşliğini uygulayalım: \( [(x+2) - x] * [(x+2) + x] \).
- ➡️ Sadeleştirelim: \( [2] * [2x + 2] = 4x + 4 \).
- ➡️ İki sayının toplamı: \( x + (x + 2) = 2x + 2 \).
- ➡️ Görüldüğü gibi \( 4x + 4 = 2*(2x + 2) \) olduğundan, kareler farkı, toplamın iki katına eşittir. Soruda verilen ifade eksikti, doğrusu "iki katına eşittir" olmalıydı. Bu şekliyle ispat tamamlandı.
💡 Algoritmik Yaklaşım (Sayıcılı Algoritma):
- 1️⃣ Başla: Algoritma başlar. `sayac = 0` olarak ayarlanır.
- 2️⃣ Döngü: `x` değişkeni 1'den 1000'e kadar birer birer artırılır.
- 3️⃣ Hesaplama: Her `x` için:
- `KarelerFarki = (x+2)^2 - x^2`
- `ToplamlarininIkiKati = 2 * (x + (x+2))`
- 4️⃣ Kontrol ve Say: Eğer `KarelerFarki == ToplamlarininIkiKati` ise, `sayac` değişkenini 1 artır.
- 5️⃣ Döngü Sonu: Tüm `x` değerleri kontrol edildiğinde döngü biter.
- 6️⃣ Çıktı: Ekrana "Toplam [sayac] adet sayı için önerme doğrudur." yazdır.
- 7️⃣ Bitir: Algoritma sonlanır.
✅ Sonuç: Önermenin düzeltilmiş hali (iki katı) ispatlandı ve algoritmanın tüm x tam sayıları için çalışacağı, sayacın 1000 değerini vereceği görüldü.
