Soru:
“Herhangi bir tek sayının karesinin 1 eksiği, 8 ile tam bölünür.” önermesini cebirsel olarak ispatlayınız ve ardından bu önermeyi algoritmik yaklaşımla doğrulamak için bir akış şeması tasarlayınız.
Çözüm:
💡 Cebirsel İspat:
- ➡️ Bir tek sayıyı genel formda yazalım: \( n = 2k + 1 \) (k bir tamsayı).
- ➡️ Bu sayının karesini alalım: \( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 \).
- ➡️ Şimdi bu kareden 1 çıkaralım: \( n^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1) \).
- ➡️ k ve k+1 ardışık iki sayı olduğundan, ikisinden biri mutlaka çifttir. Dolayısıyla \( k(k+1) \) çarpımı 2'ye bölünür, yani \( k(k+1) = 2m \) (m bir tamsayı) şeklinde yazılabilir.
- ➡️ Bu durumda \( n^2 - 1 = 4 * (2m) = 8m \) olur. Bu da ifadenin 8'in tam katı olduğunu gösterir.
💡 Algoritmik Yaklaşım (Akış Şeması):
- 1️⃣ Başla: Algoritma başlar.
- 2️⃣ Giriş: Kullanıcıdan bir tek sayı (n) girmesi istenir.
- 3️⃣ Hesaplama: \( sonuç = n^2 - 1 \) işlemi yapılır.
- 4️⃣ Kontrol: Eğer \( sonuç \% 8 == 0 \) ise, "Doğru" yazdır. Değilse, "Yanlış" yazdır. (% işlemi mod/remainder alır).
- 5️⃣ Bitir: Algoritma sonlanır.
✅ Sonuç: Önerme hem cebirsel olarak ispatlandı hem de herhangi bir tek sayı için algoritma ile doğrulanabileceği gösterildi.
