Soru:
Aşağıdaki önermeyi hem cebirsel olarak ispatlayın hem de algoritmik bir yaklaşımla (örneğin, küçük sayılar için bir Python kodu mantığıyla) doğrulayın: "Herhangi bir tek sayının karesi alındığında sonuç yine bir tek sayıdır." Önermeyi, \( n \) bir tamsayı olmak üzere, \( n = 2k+1 \) formunda ifade ederek ispatlayınız.
Çözüm:
💡 Bu problemi iki aşamada ele alacağız: önce katı bir cebirsel ispat, ardından algoritmik bir doğrulama mantığı.
- ➡️ Cebirsel İspat: \( n \) bir tek sayı olsun. Bu durumda, bir \( k \) tamsayısı için \( n = 2k + 1 \) şeklinde yazılabilir. Şimdi \( n^2 \)'yi hesaplayalım:
\( n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \).
- ➡️ \( m = 2k^2 + 2k \) dersek, \( m \) bir tamsayı olur ve \( n^2 = 2m + 1 \) elde ederiz. Bu formül, \( n^2 \)'nin bir tek sayı olduğunu kanıtlar.
- ➡️ Algoritmik Doğrulama Mantığı: Algoritma, belirli bir aralıktaki (örneğin 1'den 100'e kadar) tüm tek sayıları seçer, her birinin karesini alır ve sonucun tek sayı olup olmadığını kontrol eder. Tüm kontrol edilen sayılar için sonuç "Tek" ise önerme doğrulanmış olur.
- ➡️ Örnek bir kontrol: \( n = 3 \) (tek) için \( n^2 = 9 \) (tek). \( n = 5 \) (tek) için \( n^2 = 25 \) (tek). Bu şekilde tüm tek sayılar için sonuç aynıdır.
✅ Sonuç: Hem cebirsel ispat hem de algoritmik kontrol, önermenin doğru olduğunu göstermektedir.
