KPSS Matematik konuları (Lisans, Önlisans, Ortaöğretim) Test 1

Bir dikdörtgenin çevresi 42 cm'dir. Uzun kenarı kısa kenarının 2 katından 3 cm fazla olduğuna göre, dikdörtgenin alanı kaç cm²'dir?

A) 90
B) 96
C) 102
D) 108
E) 114

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle bir dikdörtgenin çevresi ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkiden yola çıkarak alanını bulma problemini adım adım çözeceğiz. Bu tür problemler, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek alan hesaplamaları için temel oluşturur. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Bilgileri ve Değişkenleri Tanımlayalım

  Öncelikle, bize verilen bilgileri ve bilinmeyenleri matematiksel olarak ifade edelim:

  • Dikdörtgenin çevresi $P = 42$ cm'dir.
  • Kısa kenara $k$ diyelim.
  • Uzun kenara $u$ diyelim.
  • Uzun kenar, kısa kenarının 2 katından 3 cm fazladır. Bu ilişkiyi denklem olarak yazarsak: $u = 2k + 3$.
• 2. Adım: Çevre Formülünü Kullanarak Bir Denklem Oluşturalım

  Bir dikdörtgenin çevresi, iki kısa kenar ile iki uzun kenarın toplamına eşittir. Formülü $P = 2(u + k)$ şeklindedir.

  • Bize çevrenin 42 cm olduğu verildiğine göre: $2(u + k) = 42$.
  • Denklemin her iki tarafını 2'ye bölersek, kenarların toplamını buluruz: $u + k = \frac{42}{2} \Rightarrow u + k = 21$.
• 3. Adım: Kenar Uzunluklarını Bulmak İçin Denklemleri Çözelim

  Şimdi elimizde iki denklem var:

  • $u + k = 21$
  • $u = 2k + 3$

  İkinci denklemi (uzun kenar-kısa kenar ilişkisi) birinci denkleme (kenarların toplamı) yerine yazarak sadece $k$ değişkenine bağlı bir denklem elde edelim:

  • $(2k + 3) + k = 21$
  • Benzer terimleri birleştirelim: $3k + 3 = 21$
  • Eşitliğin her iki tarafından 3 çıkaralım: $3k = 21 - 3 \Rightarrow 3k = 18$
  • $k$'yı bulmak için her iki tarafı 3'e bölelim: $k = \frac{18}{3} \Rightarrow k = 6$ cm.

  Kısa kenarı bulduğumuza göre, şimdi uzun kenarı bulalım:

  • $u = 2k + 3$ formülünde $k = 6$ değerini yerine yazalım: $u = 2(6) + 3$
  • $u = 12 + 3 \Rightarrow u = 15$ cm.

  Demek ki dikdörtgenin kısa kenarı 6 cm, uzun kenarı ise 15 cm'dir.

• 4. Adım: Dikdörtgenin Alanını Hesaplayalım

  Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımına eşittir. Formülü $A = u \times k$ şeklindedir.

  • Bulduğumuz $u = 15$ cm ve $k = 6$ cm değerlerini yerine yazalım: $A = 15 \times 6$
  • $A = 90$ cm².

Bu adımları takip ederek dikdörtgenin alanını 90 cm² olarak bulduk.

Cevap D seçeneğidir.