KPSS Matematik konuları (Lisans, Önlisans, Ortaöğretim) Test 1

Bir ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 6 cm ve m(∠A) = 60° dir. |BC| kenarının uzunluğu kaç cm'dir?

A) 2√7
B) 2√13
C) 4√3
D) 10
E) 2√19

Bir üçgende iki kenar uzunluğu ve bu iki kenar arasındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarın uzunluğunu Kosinüs Teoremi (veya Kosinüs Kanunu) kullanarak bulabiliriz. Bu problemde de tam olarak bu durum geçerlidir.

• Verilen Bilgiler:

  Üçgenimiz ABC üçgenidir.

  $|AB| = c = 8$ cm

  $|AC| = b = 6$ cm

  $m(\angle A) = 60^\circ$

  Aradığımız kenar: $|BC| = a$

• Kosinüs Teoremi Formülü:

  Bir ABC üçgeninde, $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$ formülü ile üçüncü kenarın uzunluğunu bulabiliriz. Burada $a$, $\angle A$'nın karşısındaki kenar; $b$, $\angle B$'nin karşısındaki kenar ve $c$, $\angle C$'nin karşısındaki kenardır.

• Değerleri Formülde Yerine Yazma:

  Verilen değerleri Kosinüs Teoremi formülüne yerleştirelim. Biz $|BC|$ kenarını aradığımız için, formülü bu kenara göre düzenleriz:

  $|BC|^2 = |AC|^2 + |AB|^2 - 2|AC||AB| \cos(A)$

  $|BC|^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$

• Hesaplamaları Yapma:

  Öncelikle bilinen değerleri ve $\cos(60^\circ)$ değerini yerine yazalım. Trigonometriden bildiğimiz üzere $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$'dir.

  $|BC|^2 = 36 + 64 - 2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2}$

  Şimdi işlemleri adım adım yapalım:

  $|BC|^2 = 100 - (2 \cdot 48 \cdot \frac{1}{2})$

  $|BC|^2 = 100 - 48$

  $|BC|^2 = 52$

• Sonucu Bulma:

  $|BC|^2 = 52$ olduğuna göre, $|BC|$'nin uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü almamız gerekir:

  $|BC| = \sqrt{52}$

  Karekök içindeki sayıyı sadeleştirelim. $52$ sayısı $4$ ve $13$'ün çarpımıdır ($52 = 4 \cdot 13$). Bu durumda:

  $|BC| = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$ cm

Bu durumda, $|BC|$ kenarının uzunluğu $2\sqrt{13}$ cm'dir.

Cevap B seçeneğidir.