Q hangi sayı kümesidir? Test 1

Matematikte sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisi aşağıdaki gibidir:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Buna göre Q kümesi için hangisi doğrudur?

A) Sadece pozitif sayılardan oluşur
B) Tam sayıları kapsar ama irrasyonel sayıları kapsamaz
C) Tüm reel sayıları kapsar
D) Sadece kesirli sayılardan oluşur

• Matematikte sayı kümeleri arasındaki kapsama ilişkisini anlamak için öncelikle bu kümelerin ne anlama geldiğini hatırlayalım:
• Doğal Sayılar ($N$): Sayma sayıları ve sıfırdan oluşan kümedir. Genellikle $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklinde gösterilir.
• Tam Sayılar ($Z$): Doğal sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşan kümedir. $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ şeklinde gösterilir.
• Rasyonel Sayılar ($Q$): $a$ bir tam sayı ve $b$ sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere, $rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen tüm sayılardır. Bu küme, tam sayıları, sonlu ondalık sayıları ve devirli ondalık sayıları içerir. Örneğin, $rac{1}{2}$, $-3$, $0.75$, $0.333...$ gibi sayılar rasyoneldir.
• İrrasyonel Sayılar ($I$): Rasyonel olmayan, yani $rac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Örneğin, $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$ gibi sayılar irrasyoneldir.
• Reel Sayılar ($R$): Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.
• Soruda verilen $N \subset Z \subset Q \subset R$ ilişkisi, doğal sayıların tam sayıların bir alt kümesi olduğunu, tam sayıların rasyonel sayıların bir alt kümesi olduğunu ve rasyonel sayıların da reel sayıların bir alt kümesi olduğunu ifade eder.
• Şimdi seçenekleri inceleyelim:
• A) Sadece pozitif sayılardan oluşur: Rasyonel sayılar kümesi ($Q$), negatif rasyonel sayıları da içerir (örneğin, $-rac{1}{2}$ veya $-5$). Bu nedenle bu ifade yanlıştır.
• B) Tam sayıları kapsar ama irrasyonel sayıları kapsamaz:
  • "Tam sayıları kapsar": Verilen $Z \subset Q$ ilişkisi, tam sayıların rasyonel sayılar kümesinin bir alt kümesi olduğunu, yani $Q$ kümesinin tüm tam sayıları içerdiğini gösterir. Bu kısım doğrudur.
  • "irrasyonel sayıları kapsamaz": Rasyonel sayılar ($Q$) ve irrasyonel sayılar ($I$) kümeleri birbirinden tamamen farklıdır (ayrık kümelerdir). Bir sayı ya rasyoneldir ya da irrasyoneldir. Dolayısıyla $Q$ kümesi irrasyonel sayıları kapsamaz. Bu kısım da doğrudur.
  Bu nedenle B seçeneği doğrudur.
• C) Tüm reel sayıları kapsar: Verilen $Q \subset R$ ilişkisi, rasyonel sayıların reel sayıların bir alt kümesi olduğunu gösterir. Reel sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların birleşimidir. $Q$ kümesi irrasyonel sayıları kapsamadığı için tüm reel sayıları kapsamaz. Bu nedenle bu ifade yanlıştır.
• D) Sadece kesirli sayılardan oluşur: Rasyonel sayılar, $rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Bu tanıma göre tam sayılar da rasyoneldir (örneğin, $5 = rac{5}{1}$). Eğer "kesirli sayılar" ifadesi sadece tam sayı olmayan rasyonel sayıları kastediyorsa, o zaman bu ifade yanlıştır çünkü $Q$ aynı zamanda tam sayıları da içerir. Eğer "kesirli sayılar" ifadesi $rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen tüm sayıları kastediyorsa, bu rasyonel sayıların tanımıdır ancak B seçeneği daha açıklayıcı ve kapsayıcıdır. Genellikle "kesirli sayılar" denildiğinde tam sayı olmayan rasyonel sayılar akla gelir. Bu durumda $Q$ sadece onlardan oluşmaz, tam sayıları da içerir. Bu nedenle bu ifade yanlıştır.

Cevap B seçeneğidir.