Dönüşüm formülleri (Toplamı çarpıma çevirme) Test 1

sin105° - sin15° farkının değeri kaçtır?

A) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B) $\frac{1}{2}$
C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, iki sinüs değerinin farkını bulmamız isteniyor. Bu tür ifadeleri çözmek için genellikle trigonometrik dönüşüm formüllerini kullanırız. Haydi adım adım bu soruyu çözelim:

• Adım 1: Uygun Trigonometrik Formülü Belirleme

  İfade $\sin A - \sin B$ şeklindedir. Bu tür farkları çarpıma dönüştürmek için kullanılan formül şöyledir:

  $\sin A - \sin B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$

  Burada $A = 105^\circ$ ve $B = 15^\circ$ olarak alacağız.

• Adım 2: Açıları Formülde Yerine Koyma

  Şimdi $A$ ve $B$ değerlerini formülde yerine yazalım:

  $\sin105^\circ - \sin15^\circ = 2 \cos\left(\frac{105^\circ+15^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{105^\circ-15^\circ}{2}\right)$

• Adım 3: Açıları Hesaplama

  Parantez içindeki açıları ayrı ayrı hesaplayalım:

  • Toplama işlemi için: $105^\circ + 15^\circ = 120^\circ$. Yarısı ise $\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.
  • Çıkarma işlemi için: $105^\circ - 15^\circ = 90^\circ$. Yarısı ise $\frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.
• Adım 4: Hesaplanan Açıları Formülde Yerine Yazma

  Bulduğumuz açı değerlerini formülde yerine yazarsak:

  $\sin105^\circ - \sin15^\circ = 2 \cos(60^\circ) \sin(45^\circ)$

• Adım 5: Özel Açıların Trigonometrik Değerlerini Bulma

  Şimdi $60^\circ$ ve $45^\circ$ gibi özel açıların kosinüs ve sinüs değerlerini hatırlayalım:

  • $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$
  • $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
• Adım 6: Sonuçlandırma

  Bulduğumuz değerleri son ifadeye yerleştirip çarpma işlemini yapalım:

  $\sin105^\circ - \sin15^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

  İfadeleri sadeleştirdiğimizde:

  $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ olur.

  Bu durumda sonuç:

  $1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ olarak bulunur.

Bu değer seçeneklerde A şıkkında bulunmaktadır.

Cevap A seçeneğidir.