Sıralı olma özelliği nedir 9. sınıf matematik Test 2

Bir A kümesi üzerinde tanımlı R bağıntısı hem yansıyan, hem ters simetrik, hem de geçişken ise bu bağıntıya ne ad verilir?

A) Denklik bağıntısı
B) Sıralama bağıntısı
C) Fonksiyon bağıntısı
D) Denklem bağıntısı

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir bağıntının sahip olduğu belirli özellikler verilmiş ve bu özelliklere sahip bağıntının matematiksel adını bulmamız isteniyor. Adım adım bu özellikleri inceleyelim ve doğru cevaba ulaşalım.

• Bağıntının Özelliklerini Anlayalım:
  • Yansıyan (Reflexive): Bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı $R$ bağıntısının yansıyan olması demek, $A$ kümesindeki her $a$ elemanı için $(a, a)$ ikilisinin $R$ bağıntısında bulunması demektir. Yani, her eleman kendisiyle ilişkilidir. Örneğin, "eşitlik" bağıntısı yansıyandır ($a=a$).
  • Ters Simetrik (Antisymmetric): Bir $R$ bağıntısının ters simetrik olması demek, eğer $(a, b)$ ikilisi $R$'de bulunuyorsa VE $(b, a)$ ikilisi de $R$'de bulunuyorsa, bu durumda $a$ ve $b$ elemanlarının birbirine eşit olması gerektiği anlamına gelir. Örneğin, "küçük eşit" $(\le)$ bağıntısı ters simetriktir. Eğer $a \le b$ ve $b \le a$ ise, o zaman $a=b$ olmak zorundadır.
  • Geçişken (Transitive): Bir $R$ bağıntısının geçişken olması demek, eğer $(a, b)$ ikilisi $R$'de bulunuyorsa VE $(b, c)$ ikilisi de $R$'de bulunuyorsa, bu durumda $(a, c)$ ikilisinin de $R$'de bulunması gerektiği anlamına gelir. Örneğin, "küçük eşit" $(\le)$ bağıntısı geçişkendir. Eğer $a \le b$ ve $b \le c$ ise, o zaman $a \le c$ olur.
• Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Denklik bağıntısı: Bir bağıntının denklik bağıntısı olabilmesi için yansıyan, simetrik ve geçişken olması gerekir. Buradaki "simetrik" özelliği, soruda verilen "ters simetrik" özelliğinden farklıdır. Simetrik demek, $(a, b) \in R$ ise $(b, a) \in R$ olması demektir. Ters simetrik ise, $(a, b) \in R$ ve $(b, a) \in R$ ise $a=b$ olması demektir. Bu nedenle A seçeneği doğru değildir.
  • B) Sıralama bağıntısı: Bir bağıntının sıralama bağıntısı (veya kısmi sıralama bağıntısı) olabilmesi için yansıyan, ters simetrik ve geçişken olması gerekir. Soruda verilen üç özellik de tam olarak sıralama bağıntısının tanımına uymaktadır.
  • C) Fonksiyon bağıntısı: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnızca bir elemanla eşleşmesi gerekir. Bu, yansıyanlık, ters simetriklik veya geçişkenlik gibi özelliklerle doğrudan tanımlanmaz. Bu nedenle C seçeneği doğru değildir.
  • D) Denklem bağıntısı: Bu, matematiksel bağıntılar için standart bir terim değildir. Bu nedenle D seçeneği doğru değildir.
• Sonuç:

  Soruda verilen yansıyan, ters simetrik ve geçişken olma özellikleri, matematiksel olarak bir sıralama bağıntısının (veya kısmi sıralama bağıntısının) tanımını oluşturur.

Cevap B seçeneğidir.