Trigonometri açı ölçü birimleri 11. sınıf Test 1

Bir çemberde merkez açının ölçüsü 72° dir. Bu açının çember yayını gördüğü parçanın uzunluğu 8π cm olduğuna göre, çemberin yarıçapı kaç cm'dir?

A) 10
B) 15
C) 20
D) 25

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde bir çemberde merkez açının ölçüsü ve bu açının gördüğü yayın uzunluğu verilmiş. Bizden çemberin yarıçapını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu soruyu kolayca çözelim.

• Adım 1: Gerekli Formülü Hatırlayalım

• Bir çemberde, merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmak için kullandığımız temel bir formül vardır. Bu formül, çemberin çevresi ile merkez açının $360^\circ$'ye oranı kullanılarak elde edilir.

  Yay uzunluğu ($L$) formülü şöyledir:

  $L = 2\pi r \times \frac{\alpha}{360^\circ}$

  Burada;

  • $L$: Yayın uzunluğu
  • $r$: Çemberin yarıçapı
  • $\alpha$: Merkez açının ölçüsü (derece cinsinden)
  • $2\pi r$: Çemberin çevresi
• Adım 2: Verilenleri Formülde Yerine Yazalım

• Soruda bize verilen değerleri formülümüzdeki yerlerine koyalım:

  • Merkez açının ölçüsü ($\alpha$) = $72^\circ$
  • Yayın uzunluğu ($L$) = $8\pi$ cm

  Şimdi bu değerleri formülümüze yerleştirelim:

  $8\pi = 2\pi r \times \frac{72^\circ}{360^\circ}$

• Adım 3: Denklemi Sadeleştirelim

• Denklemimizi daha basit bir hale getirmek için $\frac{72^\circ}{360^\circ}$ oranını sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı $72^\circ$ ile bölebiliriz:

  $\frac{72^\circ}{360^\circ} = \frac{72 \div 72}{360 \div 72} = \frac{1}{5}$

  Şimdi bu sadeleşmiş oranı denklemimize geri yazalım:

  $8\pi = 2\pi r \times \frac{1}{5}$

  Denklemi biraz daha düzenleyelim:

  $8\pi = \frac{2\pi r}{5}$

• Adım 4: Yarıçapı ($r$) Bulalım

• Şimdi amacımız $r$ değerini yalnız bırakmak. Bunun için denklemin her iki tarafını da uygun sayılarla çarpıp böleceğiz.

  Önce denklemin her iki tarafını $5$ ile çarpalım:

  $8\pi \times 5 = 2\pi r$

  $40\pi = 2\pi r$

  Şimdi de $r$'yi bulmak için denklemin her iki tarafını $2\pi$ ile bölelim:

  $r = \frac{40\pi}{2\pi}$

  Burada $\pi$ sembolleri birbirini götürecektir:

  $r = \frac{40}{2}$

  $r = 20$ cm

Böylece çemberin yarıçapını $20$ cm olarak bulmuş olduk. Seçeneklere baktığımızda bu değerin C seçeneğinde olduğunu görüyoruz.

Cevap C seçeneğidir.