Bu soruda, mutlak değer içeren bir eşitsizliği çözerek $x$ değerlerinin hangi aralıkta olduğunu bulmamız isteniyor. Mutlak değerin ne anlama geldiğini ve eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi adım adım inceleyelim.
- Mutlak Değerin Anlamı: Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki başlangıç noktasına (sıfıra) olan uzaklığını ifade eder. Örneğin, $|-3|$ demek, $-3$'ün sıfıra olan uzaklığı demektir ve bu da $3$'tür. Genel olarak, $|x - k|$ ifadesi, $x$ sayısının $k$ sayısına olan uzaklığını gösterir.
- Eşitsizliği Yorumlama: Bize verilen eşitsizlik $|x - b| < |x - c|$ şeklindedir. Bu ifadeyi "sayı doğrusu üzerinde $x$'in $b$'ye olan uzaklığı, $x$'in $c$'ye olan uzaklığından daha küçüktür" şeklinde yorumlayabiliriz.
- Sayı Doğrusunda Görselleştirme: $a < b < c$ sıralaması verildiği için, $b$ ve $c$ sayı doğrusunda farklı noktalardır ve $c$, $b$'nin sağındadır.
--- $b$ --- $c$ ---
$x$'in $b$'ye $c$'den daha yakın olması için, $x$'in $b$ ile $c$ arasındaki orta noktanın solunda olması gerekir. Sayı doğrusu üzerinde bu tür eşitsizlikleri görselleştirmek, çözümü anlamak için çok faydalıdır.
- Orta Noktayı Bulma: $b$ ve $c$ noktalarına eşit uzaklıkta olan nokta, bu iki noktanın tam ortasıdır. İki noktanın orta noktası, aritmetik ortalamaları ile bulunur. Yani, $b$ ve $c$'nin orta noktası $\frac{b+c}{2}$'dir.
- Eşitsizliğin Çözümü: Eğer $x$, $b$'ye $c$'den daha yakınsa, $x$ kesinlikle $b$ ve $c$'nin orta noktasının solunda yer almalıdır. Bu durumu matematiksel olarak şu şekilde ifade ederiz:
$x < \frac{b+c}{2}$
- Seçeneklerin Değerlendirilmesi: Şimdi bulduğumuz bu eşitsizliği verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $x > b$: Bu her zaman doğru değildir. Örneğin, $b=2, c=6$ ise orta nokta $\frac{2+6}{2} = 4$'tür. Eşitsizliğe göre $x < 4$ olmalıdır. $x=1$ değeri bu eşitsizliği sağlar ($1 < 4$) ancak $x > b$ ($1 > 2$) eşitsizliğini sağlamaz. Bu nedenle kesinlikle doğru değildir.
- B) $x < \frac{b+c}{2}$: Bu, bizim çözümümüzle tamamen aynıdır. Eşitsizliği sağlayan tüm $x$ değerleri için bu ifade kesinlikle doğrudur.
- C) $x > \frac{b+c}{2}$: Bu, bizim çözümümüzün tam tersidir. Eğer $x > \frac{b+c}{2}$ olsaydı, $x$, $c$'ye daha yakın olurdu.
- D) $x < a$: $a$ değeri $b$'den küçüktür. $x < \frac{b+c}{2}$ eşitsizliği, $x$'in $a$'dan küçük olmasını gerektirmez. Örneğin, $a=1, b=2, c=6$ olsun. Orta nokta $4$'tür. $x < 4$ olmalı. $x=3$ değeri bu eşitsizliği sağlar ama $x < a$ ($3 < 1$) yanlış olur. Bu nedenle kesinlikle doğru değildir.
Bu adımları takip ettiğimizde, eşitsizliği sağlayan $x$ değerlerinin kesinlikle $\frac{b+c}{2}$'den küçük olması gerektiğini buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
