Koordinat düzleminde köşeleri A(0,0), B(6,0) ve C(2,4) noktaları olan ABC üçgeninin diklik merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2,2)
B) (3,1)
C) (2,3)
D) (4,2)
Bir üçgenin diklik merkezi, üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. Bir yükseklik, bir köşeden karşı kenara indirilen dikmedir. Diklik merkezini bulmak için en az iki yüksekliğin denklemini bulup bu denklemleri çözerek kesişim noktasını belirlememiz gerekir.
- 1. Adım: Kenarların Eğimlerini Bulma
- Öncelikle, üçgenin kenarlarının eğimlerini hesaplayalım. Köşelerimiz A(0,0), B(6,0) ve C(2,4) noktalarıdır.
- AB kenarının eğimi ($m_{AB}$):
- $m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 0}{6 - 0} = \frac{0}{6} = 0$.
- AB kenarı x ekseni üzerinde yer alan yatay bir doğrudur.
- BC kenarının eğimi ($m_{BC}$):
- $m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{4 - 0}{2 - 6} = \frac{4}{-4} = -1$.
- AC kenarının eğimi ($m_{AC}$):
- $m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = \frac{4}{2} = 2$.
- 2. Adım: Yüksekliklerin Eğimlerini ve Denklemlerini Bulma
- Şimdi, diklik merkezini bulmak için en az iki yüksekliğin denklemini bulmamız gerekiyor. Bir doğruya dik olan doğrunun eğimi, o doğrunun eğiminin negatif çarpmaya göre tersidir (yani $m_1 \cdot m_2 = -1$).
- C köşesinden AB kenarına inen yükseklik ($h_C$):
- AB kenarı yatay bir doğru olduğu için ($m_{AB}=0$), bu kenara inen yükseklik dikey bir doğru olmalıdır.
- Bu yükseklik C(2,4) noktasından geçtiği için denklemi $x = 2$ olur.
- A köşesinden BC kenarına inen yükseklik ($h_A$):
- BC kenarının eğimi $m_{BC} = -1$ idi. Bu yüksekliğin eğimi, BC kenarının eğiminin negatif çarpmaya göre tersi olmalıdır:
- $m_{h_A} = -\frac{1}{m_{BC}} = -\frac{1}{-1} = 1$.
- Bu yükseklik A(0,0) noktasından geçtiği için denklemi $y - y_A = m_{h_A}(x - x_A)$ formülüyle bulunur:
- $y - 0 = 1(x - 0)$
- $y = x$.
- 3. Adım: Diklik Merkezini Bulma (Yüksekliklerin Kesişim Noktası)
- Diklik merkezi, $h_C$ ve $h_A$ yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. Bu iki yüksekliğin denklemlerini bir sistem olarak çözerek kesişim noktasını bulabiliriz:
- 1. Yükseklik denklemi: $x = 2$
- 2. Yükseklik denklemi: $y = x$
- Birinci denklemi ikinci denklemde yerine koyarsak:
- $y = 2$.
- Buna göre, diklik merkezinin koordinatları $(2,2)$ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
