Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir dairenin alanının yarıçapa bağlı olarak nasıl değiştiğini gösteren bir fonksiyonumuz var ve bizden belirli bir aralıkta bu alanın ortalama değişim hızını bulmamız isteniyor. Ortalama değişim hızı, bir fonksiyonun belirli bir aralıkta ne kadar hızlı değiştiğini gösteren önemli bir kavramdır. Haydi adım adım bu soruyu çözelim!
- 1. Ortalama Değişim Hızı Formülünü Hatırlayalım:
- Bir $f(x)$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki ortalama değişim hızı şu formülle bulunur:
- $\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$
- Bu formül, fonksiyonun $x=a$ noktasından $x=b$ noktasına giderken ortalama olarak ne kadar eğime sahip olduğunu gösterir.
- 2. Fonksiyonumuzu ve Aralığımızı Belirleyelim:
- Soruda verilen dairenin alanı fonksiyonu $A(r) = \pi r^2$ şeklindedir. Burada $r$ yarıçapı temsil eder.
- Yarıçapın değiştiği aralık $[2, 5]$ olarak verilmiştir. Bu durumda $a = 2$ ve $b = 5$ olur.
- 3. Aralığın Uç Noktalarındaki Alan Değerlerini Hesaplayalım:
- Şimdi, yarıçap $r=2$ iken ve $r=5$ iken dairenin alanını bulalım:
- $r=2$ için alan: $A(2) = \pi (2)^2 = \pi \times 4 = 4\pi$
- $r=5$ için alan: $A(5) = \pi (5)^2 = \pi \times 25 = 25\pi$
- 4. Ortalama Değişim Hızı Formülünü Uygulayalım:
- Bulduğumuz değerleri ortalama değişim hızı formülüne yerleştirelim:
- $\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{A(5) - A(2)}{5 - 2}$
- $\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{25\pi - 4\pi}{5 - 2}$
- 5. Hesaplamayı Tamamlayalım:
- Pay kısmındaki çıkarma işlemini yapalım: $25\pi - 4\pi = 21\pi$
- Payda kısmındaki çıkarma işlemini yapalım: $5 - 2 = 3$
- Şimdi bu değerleri yerine yazalım:
- $\text{Ortalama Değişim Hızı} = \frac{21\pi}{3}$
- Son olarak sadeleştirme işlemini yapalım:
- $\text{Ortalama Değişim Hızı} = 7\pi$
Buna göre, yarıçapın $[2, 5]$ aralığında değiştiği durumda alanın ortalama değişim hızı $7\pi$ birimdir.
Cevap C seçeneğidir.
